サイエンスナビゲータ―Ⓡ 桜井進の 「世界は数学でできている！」
第4回 マイナス×マイナスはなぜプラスになるのか
「パパ、マイナス×マイナスがプラスになるのはどうして？」
子どもにたずねられて「そう決まっているの！」とは答えたくないものです。
１＋１＝２からはじまり、分数どうしのわり算まで、小学校の算数は「そういうものだ」という捉え方は決してネガティブではありません。もしそれらすべてに生じる「なぜ」に答えようすれば６年間では済まなくなるからです。
それが“学校の算数”です。できる人（考え抜ける人）を除いて、中学・高校の数学は“学校の数学”です。さて、“学校の算数・数学”を数学として捉えてみます。 「そう決まっているの！」ではないポジティブな答えを目指しましょう。
プラスとマイナスの数
まずは数の正と負についてその意味を考えてみます。０という基準があって０よりも大きい数を正の数、小さい数を負の数と決めることは誰もが納得するところです。
数は正か０か負のどれかです。数直線という図形を用意して、０の位置を決めるとその左側が負、右側が正となります。温度計は上下でその関係になっています。０度より上にいくほど温度が高く、下に行くほど低くなるよう目盛りがふってあります。
正負のたし算とひき算
さて、正負の足し算と引き算をこの数直線を使って考えてみます。７−３＝４は（＋７）＋（−３）と考えて、「０から右に７だけ進み、次にそこから左に３進むと＋４のところに行き着く」と考えることができます。−５＋３なら（−５）＋（＋３）と考えて、「０から左に５だけ進み、次にそこから右に３進むと−２のところに行き着く」という具合です。これらの計算から正と負というのは向きを表していることがわかります。
正負のかけ算
かけ算はこの向きについて考えるのです。（＋３）×（＋２）＝６これは、（＋３）×２×（＋１）と考えるのです。はじめの（＋３）×２は（＋３）＋（＋３）のことですから（＋６）になります。それに（＋１）を掛けるとはその＋６の向きを同じ向きにすること、つまりそのままの＋６が答えとなります。
（＋３）×（−２）は（＋３）×２×（−１）と考えるのです。まず、（＋３）×２＝＋６それに（−１）を掛けるとはその（＋６）の向きを反対向きにすること、つまり−６が答えとなります。
「（−１）を掛けると向きが反対向きになる」と考えるのです。この考え方を、（−３）×（−２）に適用してみます。（−３）×２×（−１）＝（−６）これに−１を掛けるとその向きを反対向きにするので＋６になるのです。
そもそも（＋７）＋（−３）の（−３）とは、右に３進もうとするのを逆に左に３進むことを表すことから、（−３）＝（＋３）×（−１）のマイナス（−１）には逆向きに進ませる働きがあるということです。
マイナス×マイナス＝プラスの論理的整合性
数学には論理的整合性（logical consistency）があります。あるところで成り立つことは別なところでも成り立たなければなりません。
マイナス×マイナス＝プラスの論理的整合性①
数と計算の世界には、次のような基本的なルールが見つかります。
〔１のルール〕1×a=a、a×1＝a
〔０のルール〕0×a=0、a×0=0、a+(−a)=0、−a＋a=0
〔分配法則〕a×(b+c)=a×b+a×c
これらのルールから（−１）×（−１）＝１を導くことができます。
1+(−1) =0
(−1)×(1+(−1)) =(−1)×0 両辺に（−１）をかける
(−1)×1+(−1)×(−1)−1+(−1) =0 左辺は〔分配法則〕、右辺は〔０のルール〕
−1+(−1) ×(−1) =0〔１のルール〕から(−1)×1=−1=1
(−1)×(−1)= 1〔０のルール〕
マイナス×マイナス＝プラスの論理的整合性②
三角関数の計算の中から（−１）×（−１）＝１を導いてみます。
〔2倍角の公式〕cos2θ=(1+cos2θ)/2
(−1)×(−1)=
cos180∘×cos180∘
=cos2180∘
=(1+cos(2×180∘))/2
=(1+cos360∘)/2=(1+1)/2
=1
マイナス×マイナス＝プラスの論理的整合性③
虚数iはi²＝−１という性質をもつ数です。虚数の世界は三角関数と深く結びついています。次はその代表的な公式です。
〔ド・モアブルの公式〕(cosx+isinx)n=cosnx+isinnx
cosπ+isinπ=−1+i×0=−1
なので、
(−1)×(−1)=(cosπ+isinπ)2
=cos2π+isin2π
=1+i×0
=1
マイナス×マイナス＝プラスの論理的整合性はもっと見つかります。そうなれば、「そうきまっている（−１）×（−１）＝１」から「納得する（−１）×（−１）＝１」になるでしょう。
次回は私が数学と出会った頃の話をしたいと思います。お楽しみに。