『モンティ・ホール問題』について考える

■問題の概要

『モンティ・ホール問題』とは、数学の問題のひとつです。

　問題の内容は、こんな感じです。
　細部のディテールはちょっと変えましたが、構造は変えていません。

・あなたの目の前に、神様がいます。
・神様は、箱を３つ並べました。
　便宜上ABCと名付けます。箱の形状に違いはありません。
・３つの箱のうち、1つだけ、当たりです。残り２つはハズレです。
　当たりの箱には、「欲しい物を１つだけもらえる券」が１枚入ってます。
・「箱を１つ選んで。それが当たりだったら、中の券、使っていいよ」
　と神様は言いました。

・あなたはAを選んだとします。
・Aの箱を開ける前に、神様が「Bはハズレだよ」と言いました。
　神様はBの箱を開けて見せました。確かにBはハズレでした。
・「今なら、Cに変えてもいいよ。勿論変えなくてもいい。どうする？」
　と神様が言いました。

・あなたは、Cに変えるべきでしょうか？

　実際の問題では、当たりは「新車のキー」、ハズレは「ヤギ」、これを、あるイベントの主催者が、箱ではなく部屋に入れて、扉を選択させるというものでしたが、「ヤギのほうが当たりだと思うんだ」などと言い出すヤギマニアに登場されると話が面倒になるので、細部を変えました。
　申し訳ない。

■まずは結論から

　これ、結論から言うと、「変えたほうがいい」です。
　理由は「当たる確率は、変えた方が、変えないときの2倍になるから」なのですが。

　アメリカの雑誌のコラムに、この問題が読者から投稿され、それに対してコラムニストが上記の回答を誌面に載せたところ、「この回答は間違っている」という投書が、1万通近く寄せられたのだそうです。
　その中には、1000人近い博士号取得者のものも含まれていたそうです。
　その反論の大半は、「2回目に選択を変えようと変えまいと、その確率は2分の1で変わらないはずだ」という論旨だったらしい。
　その結果、長いこと、大論争が繰り広げられたのだそうです。
　中には、人格否定にまで及びかねない、悪し様な批判もあったのだとか。

　しかし、最終的には、「確率が２倍になる」が正しいことが、コンピューターのシミュレーションによって、明らかになります。
　これを機に、当初「回答が間違っている」と反論をしていた人々は、自らの誤りを認めるに至ったそうですが。

　私も最初は「残り２つから選択をし直すことになるのだから、どちらを選ぶのも、確率は同じでしょ？」としか思えませんでした。
　詭弁なんじゃないのかとすら、思いました。
　だから「コンピューターのシミュレーションで証明された」という事実を聞いたときも、最初は信じられませんでした。

　で、今回、もう一度、落ち着いて細かく考えました。
　その結果、ようやく「確かに確率は２倍になる」という実感を得ました。
　その、考えた内容を、以下に記しておきます。

■こんな感じで考えた

　この問題で重要なのは、ハズレのことをちゃんと考えるということです。
　当たりのことだけを考えているうちは、多分、結論を理解できません。

　ポイントは、「神様が、ハズレの箱を１つ教えてくれて、それが事実だと証明をしてくれる」という点。
　この条件からわかることは、「じゃあまだ自分がハズレを選んだと確定したわけではない」の他にも、いろいろあります。

　あなたがAを選んだ後、神様がBをハズレだと言えるという状況とは、どういう状況なのか、という視点から、考えます。

　まず、Aが当たりであった場合。
　残りのBとCは2つともハズレなのですから、このとき神様は、どちらを選んで提示してもよいことになります。

　一方、Aがハズレであった場合。
　BとCは、どちらかが当たりで、どちらかがハズレです。
　この場合は、神様は、選択の余地がありません。
　Bが当たりなら、神様は「Bはハズレだよ」とは絶対に言えません。
　Cが当たりのとき、神様は「Bはハズレだよ」と言えます。

　以上を、端的に表現すると、
「①Aが当たりのときは、神様がBを選ぶ確率は50％。
　②Cが当たりのときは、神様がBを選ぶ確率は100％」
　となります。

　なので、
　①の事象が起こる確率は、1/3×1/2＝1/6
　②の事象が起こる確率は、1/3×1＝1/3
　となります。
　ここまでは大丈夫ですかね？

　さて。
　Aが当たりだった場合。
　変えたら、絶対に外れます。
　そのままなら、絶対に当たります。
　Aがハズレだった場合。
　変えたら、絶対に当たります。
　そのままなら、絶対に外れます。

　よって。２回目の選択で、
　変えずに当たる確率は、1/6
　変えて当たる確率は、1/3
　となります。

　上の数字は「神様がBをハズレだと言った場合」に限定した結果なので、「神様がCをハズレだと言った場合」にも、同じことが言えます。
　よって、あなたがAを選んだ場合の、変えて当たる確率、変えずに当たる確率は、それぞれ、上の数字の２倍の数値になるはずです。

　よって。
　最初にAを選んで、２回目も変えずに当たる確率は、1/3
　最初にAを選んで、２回目に変えて当たる確率は、2/3
　となります。

　当然ですが、「最初にBを選ぶ」場合も、「最初にCを選ぶ」場合も、これと同じ結果になります。

　そういうわけで、「変える方が、当たる確率は２倍」は正しい、ということになるのです。

■発想を飛ばしてみる

　ところで、理屈で考えれば一応結論がでるこの問題。
　コンピューターは、乱数シミュレーションの実行の末、「変エタラ、当タル確率ハ、２倍ニ、ナリマス」と答えました。
　なのにどうして、私を含めた多くの人々の直感は、この結論にすぐには納得できないのか。

　ここからは私の個人的な想像ですが。

　コンピューターは、「当たり」も「ハズレ」も、等価値と言うと語弊があるかもしれませんが、どちらも適切に取り扱おうとします。
　機械だから。そこに感情はありません。
　言ってみれば、「当たりという名前の何か」「ハズレという名前の何か」という認識で、計算している、という印象です。

　それに対して、人間は、「当たりとハズレなら、そりゃあ当たりの方がいいに決まってる」と、大抵は思うでしょう。
　そうすると、人間の多くは、「当たりのことしか目に入らない」という状況になりがちだったりします。
「ハズレのことなんかどうでもいい」って感じで。
　そうして、「Bがハズレ」という、後からもたらされた情報を、簡単に聞き流し、当たりのことだけを重視した結果、「最初の選択は、当たる確率が1/3だし、次の選択は、１つ選択肢が減ってるから、当たる確率は1/2だと思う」と考えてしまう。

　あるいは。
　コンピューターは、常に冷静なまま、「複数回の試行」を前提として捉えています。先のシミュレーションの結果は、数百回もの演算の末、導き出されたものです。
　それに対し、人間は、こういう状況を目の前にすると、大抵は、無意識に「こんな幸運が簡単に得られるかもしれないイベントは、二度と起こらない一発勝負だ」と考えるでしょう。
　すると、冷静なつもりでも、どこか視野が狭くなることがある。
　こういう差も、理論と直感の乖離の要因のひとつかもしれません。

　些細な情報でも、適切に取り扱わないと、ときに危険に繋がる。
　人間の直感は、往々にして、様々な欲で簡単に歪む。
「この瞬間でしか、やり直しはきかない」と思ってしまうと、冷静さが失われることがある。
　モンティ・ホール問題は、本来数学の問題だったはずなのに、いろいろ考えると、こういう、数式以外の事柄についても、気づきをくれる問題であるような気もします。

■数学は、食わず嫌いはもったいない

　ところで、この『モンティ・ホール問題』がアメリカの雑誌で取り上げられたのは1990年代です。
　で、構造的に、これととてもよく似ているものに、『３囚人の問題』があります。
　年代的には『３囚人』の方が古い問題です。

　いずれにしろ、良質の数学の問題には、単なる数字遊びを超えた面白さがあります。
　私にとっては、今回初めて知った問題ではありませんでしたが、久しぶりに触れる機会があったので、記しておくことにしました。