整数は、ある数の平方根になる？

こんにちは、数学のブログへようこそ。

今日は、平方根についてお話ししたいと思います。

平方根とは、何でしょうか？

平方根とは、

ある数を2乗したときに元の数になる数

のことです。

例えば、ある数を二乗したときに16になる数は、+-√16です。(+=√16)^2=16ですからね。

では、+-4を二乗すると

(+-4)^2=16になります。これは一体どういうことでしょうか？

ちなみに、m^2で表されるような数、つまり、二乗の形で表されているm^2や、p^2やr^2などを「平方数」といいます。

4^2や(-4)^2は4の平方数となります。3の平方数は3^2となります。

平方根の話にもどりましょう。

16の平方根は何でしょうか？

平方根の定義は、「二乗してaになるような数」でした。なので、+-√16は二乗して、(+-√16)^2とすれば、16となるので、+-√16は16の平方根となります。

一方、±4も二乗すると(+-4)^2=16となるので、16の平方根です。

「どちらも16の平方根」±4と±√16の違いは何？

では、±4と±√16の違いは何でしょうか？

±4は整数で表せる平方根であり、±√16は整数で表せない平方根の違いがあります。

整数で表せない平方根は、√で表す→√は整数の補集合！？

整数で表せない平方根は、√で表します。
例えば、3の平方根は+-√3ですが、これは整数では表せません。
なぜなら、3の平方根をxとすると、x^2 = 3 となります。
この方程式を満たす整数xは存在しません。

x^2-3=0の因数分解をすると、(x+√3)(x^-√3)=0で、x=+-√3となるからです。

判別式Dにも√は出てくる

判別式Dについては、x^2-3=0とし、解の公式の√内は、b^2-4ac=Dでしたので、0^2-4*1*(-3)=12≧0なので、√の中は0以上という理由から、虚数iが発生しないため、異なる2つの実数解をもつことになっています。

虚数解を持つ場合とは？

解の公式はこうでした。
分母：2a
分子：-b+-√b^2-4ac

判別式Dは√内の要素で判定するのでしたので、
b^2-4ac≧0・・・異なる2つの実数解をもつ
b^2-4ac=0・・・異ならない２つの実数解をもつ→重なる１つの解をもつ→重解をもつ
b^2-4ac<０・・・虚数解をもつ

このとき、虚数解を持つ場合というのは、解の公式の分母の√の中の要素、つまり、判別式Dが0より小さい数となるということで、これは、√の中がマイナスなら、虚数解になるということなんだと。0より小さい√の中身→√の中身がマイナスだよの意味ですね。で、判別式がマイナスなら、なぜ虚数解を持つのか、虚数解って何とかは、また何れ今度いつか挑みたいと思います。今日は平方根の話🎆です、虚数解は脱線話ということにしておきませう。

ところで、3の平方根は√3と表します。同様に、7の平方根も√7と表します。このようにして、整数で表せない平方根を√で表すことができます。

平方根の定義

では、平方根の定義をもう一度見てみましょう。

「aの平方根」とは、「その数を2乗した結果がaになる数」です。ここで、その数＝なる数
となります。

すなわち、「xがaの平方根である」とは、「x^2 = aが成り立つ」ということです。この定義によれば、16の平方根は±4と±√16の両方が当てはまりますね。しかし、「aの平方根」を「aを2乗して元の数に戻す操作」の逆操作と考えるときにはどうでしょうか？

ある数の平方根の二乗＝ある数の二乗の平方根＝ある数とは？

ここで、逆操作について少し補足しておきましょう。座標面には、原点0を境にプラスの領域とマイナスの領域があります。たとえば、7から0に戻すには、-7を足し算すればいいですよね。-7から0に戻すには7を足せばいい。
こういうイメージで、逆操作というのは、ある操作の反対の操作、という意味ではなく、ある操作と対称的な操作なイメージです。

例えば、「16の平方根」は、+-√16ですね。このとき、平方根から16へ戻すと考えた時、+-√16を二乗し、(+-√16)^2＝16となります。
ここまでまとめますと、
平方根の二乗は元の数となる①
ということですね。

一方、元の数16を二乗すると256になります。ここから、元の数16をつくるためには、256を√でくくる必要があり、√256=√16^2=16と、元の数16が、元の数16の二乗から作ることができた、その理由は、二乗した数を√でくくったからだと言えます。
ここまでまとめますと、
ある数を二乗したaから、ある数を求めるためには、√（ある数の二乗）
となる。
ということですね。

ここまでで、こういうことがわかります。元の数を16で考えていきましょう。

元の数16の平方根は+-√16で、これを二乗し(+-√16)^2とすると、元の数16になる。
→平方根の二乗は元の数となる①
→元の数に√をつけたものが平方根③

256は元の数16を16^2と二乗したものであり、256=16^2が成立する。
二乗した数256から元の数16を求めるためには、√256にすればいい。この時、√256=√16^2=16になる。
→ある数を二乗したaから、ある数を求めるためには、√（ある数の二乗）
となる②
→ある数の二乗に√をつけたものが、ある数となる④

このとき、③は、ある数を一旦平方根にしてから、その平方根を後で二乗して元の数に戻しているんですね。一方、④はある数を一旦二乗してから、その二乗に後で平方根をつけて、元の数に戻しています。

2つの操作について、共通点はこちらです。
・始まりはどちらも「ある数（元となる数。ここでは16)
・最後は元の数に戻る（16に戻っている）

なので、元の数16があって、元の数に戻りましょうという考え方の中で、平方根をイメージして学びましょうということですね。

③はこうなります。
16→√つける→+-√16→二乗する→(+-√16)^2→16

④はこうなります。
16→二乗する→256→√つける→+-√256＝+-√16^2=16

このとき、③の一番最後の元の数16をスタートとし、③の右向き矢印を全部左向きに「逆にして」、かつ、④のように、最初に二乗、後で√つけるに変更してみてください。すると、

③の逆バージョン
16を「最初に二乗する」→256になった→後で√つける→+-√256=+-√16^2=16

このことから、③の逆バージョンは④の操作になります。

④の逆バージョン
16を最初にもってくる。16を最初に√つける→+-√16→後で二乗する→(+-√16)^2→16

つまり、逆バージョンというのは、元の数16を最初に置くのはどちらも同じで、「最初に√にする」のか、「最初に二乗する」のか、「最後に二乗する」のか「最後に√つけるのか」の順番の違いなんですね。

③では、「最初√かつ最後二乗」で、始まりは左端の元の数でした。
④では「最初二乗かつ最後√」で始まりは左端の元の数でした。

逆バージョンでは、

③は「最初二乗、最後√」で始まりは右端の元の数でした。
④は「最初√、最後二乗」で始まりは右端の元の数でした。

「16を2乗して元の数に戻す操作」の逆操作は、「256から16に戻す操作です。「256から16に戻す操作は、「√256」という形で表せます。「√256」は「√16^2」と等しいので、「±16」と等しいとなりますね。

「aの平方根」は「√a」という形で表されるべきだと思います。なぜなら、aから平方根「√a」を求める操作は、
「aを2乗したものに、√をつけて元の数に戻す操作」の逆操作そのものだからです。

平方根「√a」を2乗すると「a」に戻りますからね。「a」を2乗した「a^2」に√をつければ、「a」にもどるというわけです。

このように考えると、「aの平方根」という言葉は、「aを2乗して元の数に戻す操作」の逆操作を表す言葉だと言えます。

「aを2乗したものからの逆操作とは、「a^2」から「a」に戻す操作です。「a^2」から「a」に戻す操作は、「√a^2」という形で表せます。「√a^2」は「a」と等しいですからね。

つまり、その数に√をつけてから二乗したものはその数であり、その数を二乗してから√を付けてもその数になるということで、その数を起点に、その数に√をつけてから二乗して元に戻したり、その数を起点にその数を二乗してから√を付けて元に戻したりすれば、その数を起点に、「√をつける」「二乗する」を駆使すれば、その数を起点に循環が生まれているということですね！

なので、ある数の平方根と、ある数の二乗は、ある数を通じて繋がっているということになります！！

整数の平方根と√の平方根が存在するある数とは？

このように考えると、「16の平方根」は「±√16」だと言えます。しかし、「±√16」は「±4」と「±√16」の両方を含んでいます。ですから、「16の平方根」は「±4」と「±√16」の両方だと言えます。

しかし、「16の平方根」を「√で表せる数」という意味で使うときには、「±√16」だけが当てはまります。なぜなら、「±4」は√で表せないからです。

３つもある！？平方根の意味

このように、平方根という言葉には、いくつかの意味があります。一つは、「その数を2乗した結果が元の数になる数」という意味です。

もう一つは、「その数を2乗して元の数に戻す操作」の「逆操作」という意味です。「その数を2乗して元の数に戻す操作」は256から16に戻る④のパターンですが、その逆操作なので、④のパターンにおける、最後の元の数から始まって、矢印が左向きになるパターン、つまり、④の構図において、最初に右端からスタートし、元の数を「最初に√」し、元の数の平方根を最初につくり、そこから、その平方根を「最後に二乗する」結果、元の数16に戻るタイプですね！

さらに、もう一つは、「その数を2乗して元の数に戻す操作」の逆操作であり、かつ、√で表せる数という意味です。これは2タイプありました。

「その数を2乗して元の数に戻す操作」の逆操作であり、かつ、√で表せる数は2タイプある

1タイプ目

ここでの「その数」というのは、既にある数を√で囲んで平方根となったある数」のことを「その数」として使っています。16で言えば、

元の数16に「先に√をつけて」+-√16と一旦し、そこから後で「その数+-√16を二乗(+-√16)^2して、元の数16に戻す操作」の逆操作、ですから、

元の数16を「最初に二乗」して、256にし、後で√をつけて、（つまり、256の平方根をつくり、）そうすると、+-√256と√で表せますね。

そこから、さらに256は16の二乗なので、+-√256=+-√16^2=+-16と整数の平方根も、√の平方根の+-√256と一緒に出来上がりました。

2タイプ目
「その数を2乗して元の数に戻す操作」の逆操作、について、
その数を16と設定します。16を二乗すると256で、その数256を元の数16に戻すには、16を二乗した数256に√をつけて、+-√256=+-√16^2=+-16までが、「その数を2乗して元の数に戻す操作」の2タイプ目です。

その操作の「逆操作」なので、

16に「最初に√をつける」、つまり、16の平方根をつくると、+-√16=+-√4^2＝+-4となるので、16の平方根は+-√16と+-4と、√で表される平方根と、整数で表される平方根の二種類あることになります。「最後に二乗する」ので、√でつくった平方根+-√16を二乗して、(+-√16)^2=16、整数で作った平方根も二乗して、(+-4)^2=16となりました！

これらの意味は、文脈によって使い分けられます。平方根という言葉を使うとき、整数の平方根と√の平方根がありますが、どの意味で使っているかを明確にすることが大切です。

平方根の定義は「その数を二乗してaになるような数」とされているので、aが16だとすると、16の平方根は+-√16ですが、一方、+-√16=+-√4^2=+-4と整数でも表されます。このとき、16の平方根は？となれば、+-√16ですが、一方、+-4も16の平方根となります。

Pointというか学び：

平方根は必ずしも√で囲まれている数だけでなく、√の数からさらに分解して、整数になっているものもある、ということですね。整数の中にもある数aの平方根が存在していたのかの驚き。

以上が、平方根についての説明でした。iについてはまた。。このブログでは、数学の超基本の基本的な重要概念や用語を解説しています！