結晶群とその一般化（３）

2022年5月4日 06:30

結晶空間群の発見
群拡大理論に基づいた空間群の構成
群の一般化．特性の対称性
対称性の重ね合わせ．対称化と非対称化

3次元結晶群（点群，あるいは，空間群）は，3次元の幾何空間に作用する対称操作が作る群でした．一般化の第一歩は，幾何学的次元とは異なる何らかの超幾何学的な1つの特性（代表して「色」と呼ぶ）空間を付加する［3次元＋1次元］ことで得られました．A.V.シュブニコフは，＋/-の2値をとれる特性を，3次元幾何空間の各点に付与しました．これが，反対称群（シュブニコフ群；黒白群）であり，多値の特性を各点に付与したものが色付き群（ベーロフ群；多色群）であります．
もし，付加する特性次元が3次元空間と同様な幾何学的次元であれば，4次元結晶群になります．

シュブニコフ（反対称；黒-白）Ш群
ベーロフ（多色）Б群

色付きの空間構造を色の見分けができない眼鏡を通して見れば，すべての点が同一色に見え空間の幾何学的構造だけが見えます．このことから，色付き構造を記述する群$${Б^{(p)}}$$（色特性$${p}$$色）は，同型な結晶群 $${G \cong Б^{(p)}}$$ があることになります．$${p}$$色の色付き構造のうちで同色の同価点系が作る$${G}$$の部分群を$${G^{*}}$$とすると，色特性の数$${p}$$は，部分群$${G^{*}}$$の群$${G}$$に対する指数（それぞれの群の位数の比で整数）になります：$${p=(G^{*}：G)}$$

$${G^{*}}$$が$${G}$$の指数$${p}$$の正規部分群であるなら，$${G}$$に同型な$${p}$$色の色付き群$${Б^{(p)}}$$は，群$${G^{*}}$$を色置換群$${P}$$で拡大した正規拡大$${Б^{(p)}=G^{*}\otimes P}$$として得られます.

■　シュブニコフ結晶空間群Шは，Шと同型な古典空間群$${G}$$の指数２の部分群$${G^{*}}$$（注：指数２の部分群は常に正規部分群）を，位数２の反対称演算の群，
$${m'=\{1,m'\}}$$, $${2'=\{1,2'\}}$$, $${\bar{1}'=\{1, \bar{1}'\}}$$, $${4'=\{1,4'(\textrm{mod}2)\}}$$，あるいは，反対称格子や，反並進を含む並進群$${\tau '(\textrm{mod}2 \tau)＝\{1, \tau '\}}$$で拡大して得られます．

■　ベーロフ$${Б^{(p)}}$$結晶空間群
$${p}$$色の色付き3次元結晶空間の対称性に関します．$${Б^{(p)}}$$群は，色の見分けの出来ないフィルターを通して見れば1色に見えますから，これに同型な何等かの古典群$${G}$$，$${G\congБ^{(p)}}$$があり，$${G}$$の正規部分群で，指数$${p}$$のものを$${G^{*}}$$とすると，$${G/G^{*}}$$に同型な，色置換群$${P}$$を用いて，$${Б^{(p)}=G^{*}\otimes P}$$のように正規拡大の型で$${Б^{(p)}}$$群が得られます．あるいは，以下の$${p}$$色巡回置換の並進群を用いて拡大します．
$${\tau^{(p)}(\textrm {mod}\tau)=\{ \tau^{(p)}, ( \tau^{(p)})^{2}, \cdots , (\tau^{(p)})^{p}=\tau \equiv 0(\textrm {mod}\tau) \} }$$

このような$${Б^{(p)}}$$群を標記するには，その生成群を明示しての次のように標記します：$${G/G^{*}}$$

Ш群や$${Б^{p}}$$群は色付きの結晶空間群を念頭に記述しましたが，色付きの結晶点群に限定して記述するのは，理解しやすい良い方法かもしれません．色巡回置換による群は，Niggli，Indenbom，Belov，Neronova（1959，1960）が，古典群の正規部分群を含むものはWittke(1962)が研究しました．色付き群の分解表現は，Shubunikov，Koptsikが導き，73種類のWittke-Garrido群$${G_{WG}^{(p)}=G^{(p)*}・G^{*}}$$と，これに同型なVan der Waerden-Burckhardt群$${G_{WB}^{(p)}=G^{(p_{1})*}・G^{(p_{2})*}}$$を導きました．全$${G_{WB}^{(p)}}$$と$${G_{WG}^{(p)}}$$の数え上げは，Koptsikの下で，Kuzhukeev(1972)の修士論文でなされました．
部分群$${G^{(p_{2})*}\subset G_{WG}^{(p)}}$$は，最後に決まった色を保存し，群$${G_{WG}^{(p)*}}$$の中の色置換の型$${G^{(p)*}}$$は始めの点の採り方に依存します．

色付き空間群の導出は，1969年ザモルザエフにより始められ，3色，4色，6色までの空間群の数え上げが行われた．色付き空間群の色の塗り替え演算が，色並進群にあるものと，色並進を含まない群とに分類でき，さらにそれぞれに共型なものと非共型なものに分類できる．色空間の対称操作は幾何的結晶空間の対称操作と連動するために，許される色数$${p}$$は制限があり，最大で48色，以下24,16,12,8,6,4,3色です．正規拡大による色付き空間群の数え上げは完了しました．

■演習
2次元2色（黒-白）結晶点群を求める