数学月間

2020年9月30日 16:37

ヴァンラムン円

約4000年前のバビロニア時代に三角形の幾何学の研究が始まりました．その後のエジプトでは，ナイルの氾濫後の測量に必要な幾何学が発展しました．3,4,5の長さのエジプト紐で直角を作り，ピタゴラスの定理も知られました．ギリシャでユークリッドが原論を完成したのがB.C.300年頃です．普通の学校の幾何学の教科書にあるほとんどすべての事実が，17世紀の半ばまでにすでに知られていました．ユークリッド幾何学

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2020年9月29日 13:33

モーペルテュイは，
「始状態から終状態への運動経路には，作用と呼ばれる積分量が定義でき，作用が最小となる経路が実現される．これが物理学のみならず，万物の運命を決める外界の原理である」
という着想－”最小作用の原理”(1744年)を得ました．たしかに，現実の運動では，しばしば作用が極小になりますが，正確には，「作用が停留値をとる経路が実現する」というのが正しいことが後にわかります．
オイラーは，モー

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2020年9月27日 09:17

石積みとアーチ橋

写真の石垣は美しいですね．石積みの改修は番号をふって再現するのでパズルのようです．素晴らしい石工の技です．
ボロノイ分割のような網目で各所の釣り合いの条件を書いて計算できたとしても物づくりの役にたちません．石工の技術は直感と身に着けたバランス感覚そのものです．ガラス職人は熔けたガラスの粘性の手応えに反射的に反応し細工をします．機械の設計でも常識や力学感覚が身に着いていない技術者の計算まかせはと

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sgk

2020年9月26日 08:26

笑い話と計算

こんなクイズを何処かで聞いたことがありませんか？
１人10ドルのホテルに3人が止まり，30ドル支払いました．ホテルフロントが5ドル値引きしてくれ，女中を介して返金してきましたが，途中で女中が2ドル抜いたので，3人に渡ったのは1ドルづつです．結局，それぞれ9ドルづつ支払ことになり，全員でホテルに27ドル，女中が2ドル持っています．残りの1ドルはどこに消えたのでしょうか？
ややっこしくて変な気分ですが

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sgk

2020年9月25日 16:05

万華鏡ワークショップ（ブリュースター型-LI鏡）

（１）材料

（２）作り方

（３）映像

■ブリュースター型のバリエーションには，II鏡タイプもあります．

II鏡タイプの場合の映像は

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2020年9月24日 13:26

2020年の数学月間

日本の数学月間（7/22～8/22）は，今年はZOOMによるリモート開催になりました．従来なら7/22に３つの講演を実施するのですが，今年は4日に分散して，1日1講演のゆったりしたものになりました．ZOOMミーティングの利点は会場の制約がないことで，今年のようなゆったりした日程が可能になりました．遠隔地からの参加も容易です．一方，リモートなので顔を合わせられないもどかしさもあります．また，会員であ

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2020年9月23日 21:47

万華鏡ワークショップ（3枚鏡）

（１）材料
鏡3枚の組み合わの違いで，セットA~Hの8種類あります．
1mm厚の光輝アルミ板（厚いので像歪みが少ない表面鏡）を，3枚組み合わせると，所望の3角形になるよう計算して工場でカットしています．
鏡以外の部品は，セットA~Hのどれでも共通です．
ガラス屑は琉球ガラス（入手が困難になりましたので在庫限り）ですので透明度が良く奇麗です．
（注意）
⑦透明ビニール・テープ，⑧洗濯糊（PVA）は，

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2020年9月22日 07:34

万華鏡の秘密2（平面群を生まぬ場合）

■平面の正則タイル張り
まず，前回のまとめから始めます．

次に，3枚鏡の組み合わせ条件を拡張しましょう．
■ユークリッド平面の正則タイル張りで分数解の場合

これらの新しい万華鏡映像では周期性は乱れ（平面群は生まない）ますが，やはり美しいものです．

美しい幾何学，第5章より

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2020年9月21日 23:08

万華鏡の秘密１(平面群を生む場合)

万華鏡映像の美しさが私たちの心をとらえる理由は
空間の規則正しい対称性だけではありません
時間の流れとともに映し出される「千変万化だが一度きり」の映像に
生命を感じるからでもありましょう
ワンドの中を降り行くすべてのガラスくずの運命は
運動方程式ですべて定まっているとはいえ
時折カオスの起こる期待で目が離せません
万華鏡の魅力は対称性（秩序）とカオス（乱れ）の混在にあります
合わせ鏡が生み出す完全

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2020年9月20日 15:27

多面体の像を万華鏡で作る

いろいろな多面体の映像が見える万華鏡が，3枚鏡の組み合わせで作れます．それぞれの多面体映像は，どのような3枚鏡の組み合わせで作れたか推理しましょう．
今年は万華鏡のワークショップの開催をしていませんが，リモートも含め実施したいものです．

■正8面体

■(a)菱形12面体は，立方面心格子を作り空間充填ができる形．
(b)ケルビン立体（切頂8面体）は，立方体心格子を作り空間充填ができる形．
(a)

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2020年9月19日 19:49

オイラーの公式とトポロジー

■球面上のオイラーの定理
球表面の３角形メッシュに関して，オイラーの定理は T-E+V=2　です．
（ここで，3角形（面）の数 T，エッジの数 E，頂点の数 V）

球表面を３角形メッシュに分割したとき，すべての３角形のすべての角度の総和は，2πVになります（すべての頂点のまわりに2πがあるから）．

球面3角形の面積（球面過剰）
球面３角形が半径１の球上にあり，例えば，頂点がｘ軸，ｙ軸，z軸にあ

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2020年9月18日 14:12

ロバチェフスキー平面の紙モデル

А. Панов, Д. Ал. Панов (kvantik，2018年5,6月より )
原著は冗長なので，主旨は変らぬよう留意しつつ，全文書きかえました．

注）ロバチェフスキーは双曲幾何学の生みの親です．ロバチェフスキー（1829），ボヤイ（1832）の研究はそれぞれ独立になされました．

1978年のKvantikに，マチヤセビッチが１つ記事を載せ，アメリカの建築家フレッド・バセッティによ

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2020年9月17日 19:35

ステレオ投影で結びつく双曲幾何と楕円幾何の世界

球表面を平面に投影するステレオ投影法の紹介をhttps://note.com/sgk2005/n/n1c8c26e60990でしました．この投影法は，球表面→平面への投影ですから，楕円幾何の世界のモデル（球表面）と，双曲幾何の世界のモデル（ポアンカレの円盤）を結びつけることができます．これらの2種類の幾何学世界とステレオ投影の関係について簡単に補足します．

それぞれの世界では，2点を結ぶ直線

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2020年9月16日 21:20

窓内の円

2019.02月号より，文 Юрий Белецкий ＋図 Алексей Вайнер

■オデッサ州立フィルハーモニー協会（建築家-A.I.ベルナルダーツィ）
の窓は，円と弧のパターンで装飾されています．
この窓は，すばらしい幾何学問題を提供しています．

下の白板に描いたように，小さな３つの円の中心O_1，O_2，O_3は1つの直線上にのります．証明してください．

■この問題をみて思

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