【探究】有理化と１次近似

以前、有理化の有用性についてを考察した。

【探究】分母の有理化｜さるわたり　ゆうすけ｜note

$${\frac{\sqrt7}{\sqrt3}=\frac{\sqrt{21}}{3}}$$ について，１次近似を用いて考察する。

$${f(x)=\sqrt{1+x}}$$ とすると，$${f^\prime(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}}$$ となり，
$${y}$$ 切片における接線は，$${g(x)=f^\prime(0)x+f(0)=\frac{1}{2}x+1}$$ となる。

よって，$${\sqrt{21}=\sqrt{25-4}=5\sqrt{1-\frac{4}{25}}}$$なので，
１次近似を用いると，
  $${5\times f(-\frac{4}{25})\fallingdotseq5\times g(-\frac{4}{25})}$$
つまり，
  $${5\sqrt{1-\frac{4}{25}}\fallingdotseq5(\frac{1}{2}(-\frac{4}{25})+1)=5(-\frac{2}{25}+1)=\frac{23}{5}}$$ となり，
    $${\frac{\sqrt{21}}{3}\fallingdotseq\frac{23}{5}\times\frac{1}{3}=\frac{23}{15}=1.5333\cdots}$$ となる。

以前の考察よりも，１次近似の方が値を絞り込むことができた。