【探究】分母の有理化

$${\frac{\sqrt7}{\sqrt3}}$$は分母を有理化すると，$${\frac{\sqrt{21}}{3}}$$ となる。

この無理数を考察する。
 
７と３という素数からなる分数にも魅力がありそうだし、１,２,３という数字からなる分数にも魅力がありそうである。
 
  $${\sqrt2\fallingdotseq1.414}$$
  $${\sqrt3\fallingdotseq1.732}$$
  $${\sqrt5\fallingdotseq2.236}$$

​​​​​となることを知っていれば、

$${\frac{\sqrt7}{\sqrt3}\fallingdotseq\sqrt{2.333}}$$は、$${\sqrt2<\sqrt{2.333}<\sqrt3}$$ より
    $${1.414<\frac{\sqrt7}{\sqrt3}<1.732}$$ ・・・・・・①
となる。
 
一方、$${\frac{\sqrt{21}}{3}}$$は、$${\sqrt{16}<\sqrt{21}<\sqrt{25}}$$ より
  $${4<\sqrt{21}<5}$$ となり、$${\frac{4}{3}<\frac{\sqrt{21}}{3}<\frac{5}{3}}$$となるので、
    $${1.333\cdots<\frac{\sqrt7}{\sqrt3}<1.666\cdots}$$ ・・・・・・②
となる。
 
①，②の不等式では、無理数の値に幅が生じる。
 
ここで、以下のことを確認する。

  $${(1.4)^2=1.96}$$ より　$${\sqrt{1.96}=1.4}$$
  $${(1.5)^2=2.25}$$ より　$${\sqrt{2.25}=1.5}$$
  $${(1.6)^2=2.56}$$ より　$${\sqrt{2.56}=1.6}$$

このことより

$${\frac{\sqrt7}{\sqrt3}\fallingdotseq\sqrt{2.333}}$$は、$${\sqrt{2.25}<\sqrt{2.333}<\sqrt{2.56}}$$ より
    $${1.5<\frac{\sqrt7}{\sqrt3}<1.6}$$ ・・・・・・③
となる。
 
①，③の不等式を比べると、③の不等式の方が値の範囲を絞り込むことができている。
 
分母を有理化「した数」と「してない数」では見え方が変わる。
それぞれに魅力がある。
まだまだ探究の余地はありそう。