【線分図の魅力】平面図形の展開図

前回は、平面図形の周りの長さを、線分図を用いて求めてみました。(記事)
今回はこちら。

【問題　正四面体を切る】

４つの面がどれも、１辺の長さが３cmの正三角形である三角すいA-BCDがあります。図のように、三角すいの辺AB上にはAP：PB＝２：１となるように点Pを、辺AC上には三角形APQと四角形PBCQの周りの長さが等しくなるように点Qをとります。AQの長さは何ｃｍですか。

渋谷教育学園渋谷中　2021年

【解説　平面図形を開いてみる】

三角形ABCの平面以外の情報は今は要りません。AP:PB＝2:1より、もちろん2cmと1cmです。

3次元から2次元に圧縮。

上の三角形と、下の四角形の周りの長さが等しいと言っていますので、図形を切り開いて線分図のようにすると、左右の端がそろいます。平面図形にも展開図があるんですね。

2次元から1次元に圧縮。

QAの長さとQCの長さの差は、4−2＝2cmと分かります（赤い部分）。QAとQCは三角形の1辺だから合わせて3cmなので、和と差が分かりました。

左右を切り落として、未知の部分に圧縮。

AQ＝(3+2)÷2＝2.5cm
（上図で、CA＝2cmに見えますが、向きをそろえて線を並べているため、長さは違います。）

【補足　線分図は「必要」？】

どんどん情報が小さくなるのが気持ち良いですね。この問題で線分図を使うメリットは、「周りの長さが同じ」ことが可視化されることです。もちろん、できる人は式だけで解く方が早いでしょう。和差算を学びたての人には楽しいチャレンジかも知れません。

ちなみにこの問題には(2)と(3)もあります。これは本当に立体。
2023年9月2日