【算数 解答編】立体の切断面「ちょっとストレッチでもするか〜」

先日作った問題の解答編です。

育英西中学校の2023年の入試で、よく似た問題が出題されているようでしたので、こちらはさっさと種明かししてしまいます。レベル58くらい。

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【問題】(再)

下の図のような直方体を、点Ａ､Ｐ､Ｒを通る平面で分割することを考えます。点Ｐは辺ＤＨ上の定点で、点Ｒは頂点Ｇ､Ｃ､Ｂ､Ｆの順に辺上を移動する点です。点Ｒが動いた長さと、分割後の点Ｄを含む立体の体積の関係は、大体下のグラフのように表されます。
(1)ＤＰの長さを求めてください。
(2)グラフの□に当てはまる数を求めてください。

算数PLAYオリジナル問題

空いてるアルファベットが…？あぁ､休暇。

立体図形なのに、情報がかなり少なく、点が動き、グラフが曲線であることが異様です。

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【略解】

情報が少ない分、注目できるポイントが限られますので、考えやすいと思います。

(1)グラフの最初の120㎠はもちろん点Rが点Gにあるとき、つまり下図のように直方体を二等分するときですので、直方体の体積は120×2＝240㎤と分かります。よって、底面である面ABCDの面積が240÷12＝20㎠であることも判明します。
　次に、体積が10㎤と最小になるのは、点Rが点Cにあるとき、つまり下図のような三角錐のときです。底面の三角形ACDは20÷2＝10㎠ですので、10×DP÷3＝10㎤より、DP＝3cmです。もちろん、比だけでも求まります。

平行六面体を対角線を通る面で分けると、二等分される。from『原論』

(2)体積が最大になるのは、点Rが最後に点Fに到着したときです。つまりただ体積を求めるだけの問題ですが、そこまで分かってもちょっと考えるかも知れません。

切り口は面AFIPとなる。