確率は面積である。

高校生で積分を勉強しますが、なかなか難しいですよね。
計算がすごい複雑だったり、なぜかグラフの面積を求めないといけないし。
何となく学んで、でも結局何に使われるのかわからずモヤモヤしてる人も多いのでは？
今回はそのモヤモヤを少しでも解消すべく、こんなテーマを持ってきました。
「確率は面積である」

確率のと面積の性質を考える

まず、確率はどんな性質があるか？少し考えてみてください。
いろいろ出てくるかと思いますが、ここでは2つ出します。

• 値が0以上1以下

• すべて足すと1になる

ではここで面積が1の正方形の紙をイメージしてください。
紙を様々に切ります。すると切ったピースはどんな特徴があるでしょう？

• 面積が1の紙を切ったので、0以上1以下の面積をもつ

• 全部合わせるともとの紙に戻るので、すべて足すと面積は1

これって確率の特徴と全く同じではありませんか？
つまり、確率は面積と同義であり、面積を求めることで確率も求められることを意味してます。

円周率を面積から求める

実はこの性質を使ったものがあり、それが「モンテカルロ法」です。
これは円周率を求める方法で、面積1の正方形に内接するような円を考え、そこに無作為に点を打ちます。円の内部と外部に打たれた点の数の比と面積の比を考えることで円周率を近似的に求めることができます。
これはまさに、確率と面積が同じであることを表していますね。

統計学でも面積が使われる

確率と一番密接な関係にある学問は「統計学」です。
データから起こり得る事象の分布を見定め、「何%でこれが起こるな」というのを想定するからですね。まさに確率です。

この統計学でも面積が出てきます。
正規分布と呼ばれるものがあり、名前の通り分布をグラフに表したものです。

これのグラフの面積を求める、つまり積分することである事象がどれくらいの確率で起こるかを計算することができます。
そして、全区間を積分すると1になるようになっています。
まさに、確率と面積が同値であることから生まれたものですね。

高校生でいきなり積分を学び、謎に難しい計算をさせられますが、この積分が、面積を求めることが実は世の中を支えているのだとわかると、ちょっと抵抗はなくなるのではないかなと思います。

まあ、それでも微積は圧倒的に難しいことに変わりはないですが、、

以上です。お疲れ様でした。