3×3の平方数の魔方陣を作りたい②

前回の続きです。
前回は、中央を含む縦・横・斜めの4列について、平方数の和が等しくなるような値の求め方について書きました。

中央を含む4列の平方数の和が等しくなるような値を無数に求めることができるようになりましたが、中央を含まない4列については何も考慮していないため、魔方陣として成り立っていません。

今回は、中央を含む4列が成立するように値を配置する時に、その値をいい感じに配置することで、中央を含まない4列についても成り立たせることができないかを考えていきたいと思います。

まず、前回のやり方は不便ということが分かりました。
例えば、中央の数を325とした場合、7通りで表すことができますが、前回のやり方では1つの値について4通りしか求めることしかできず、パターンを網羅できません。4通りだけでは配置できる候補が少なすぎでうまくいく気がしません。

$${49^2+325^2+457^2=316875}$$
$${65^2+325^2+455^2=316875}$$
$${115^2+325^2+445^2=316875}$$
$${175^2+325^2+425^2=316875}$$
$${221^2+325^2+403^2=316875}$$
$${235^2+325^2+395^2=316875}$$
$${287^2+325^2+359^2=316875}$$
※$${合計値は3*325^2}$$を満たす

なので、ちからわざで全通り求めて、全通り網羅した上でいい感じの配置がないかを探してくことにします。

ちなみに7通りで表せる最小の中央値が325になります。（間違っていたらすみません。）

今回は以下の手順で検証してみます。

1. $${中央値=1}$$から順番に「$${x^2+中央値^2+y^2=3*中央値^2}$$」を満たす$${x}$$と$${y}$$の組み合わせを全通り求める。

2. 4通り以上あった場合は、いい感じに配置すれば中央以外の列について成り立つようにできないか確認する。

以下は、検証結果の一部です。
$${中央値=1105}$$の場合、13通り。いい感じの配置なし。
$${中央値=5525}$$の場合、22通り。いい感じの配置なし。
$${中央値=27625}$$の場合、31通り。いい感じの配置なし。
$${中央値=32045}$$の場合、40通り。いい感じの配置なし。

上記で挙げている値は組み合わせ数の最高値を更新した際の値です。
それぞれ値を素因数分解すると、
$${1105=5*13*17}$$
$${5525=5^2*13*17}$$
$${27625=5^3*13*17}$$
$${32045=5*13*17*29}$$
になります。

上記の素数はすべて4n+1型の素数になっています。
4n+1型の素数は、「ピタゴラス素数」と言われており、「二個の平方数の和で表せる奇数の素数」です。
ピタゴラス素数 - Wikipedia
4n+1型の素数のみの積で表せる値がどうやら組み合わせ数が多くなるみたいです。

前回、4通りの平方数の和を求めるときに使った
$${(a^2+b^2)(c^2+d^2)(e^2+f^2)}$$は平方数の和の積を利用していますが、この辺が関係しているのでしょうか。よくわかっていません。

とりあえず、4n+1型の素数のみの積で表せる値の場合、組み合わせの個数が多くなりそうということが分かったので、その辺に絞ってさらに検証してみました。

$${中央値=1185665(5*13*17*29*37)}$$の場合、121通り。いい感じの配置なし。
$${中央値=48612265(5*13*17*29*37*41)}$$の場合、364通り。いい感じの配置なし。
$${中央値=2576450045 (5*13*17*29*37*41*53)}$$の場合、1462通り（ミスってるかも）。いい感じの配置なし。

全然見つかりませんでした！！！！！
今回はこの辺で！！平方数魔方陣について次回の更新は未定です！
また何か進展があれば！！！

最後に$${2576450045}$$の例を少し記載して終わりにしたいと思います。

$${3*2576450045^2=19914284503141506075}$$
$${1057349^2+2576450045^2+3643650443^2=19914284503141506075}$$
$${3140501^2+2576450045^2+3643649243^2=19914284503141506075}$$
$${3603229645^2+2576450045^2+541226195^2=19914284503141506075}$$
$${3511843493^2+2576450045^2+971156501^2=19914284503141506075}$$