部分群〈龍孫江の群論道具箱〉

前回，演算が閉じていることを定義して，部分群を定義する道具が揃いました．

https://youtu.be/dSdeKIqXg0A

定義（部分群）

群$${G}$$の部分集合$${H \ne \varnothing}$$が，$${G}$$の乗法$${m \colon G \times G \to G}$$および逆元をとる操作$${i \colon G \to G}$$について閉じている，すなわち

1. 各$${a, b \in H}$$に対し$${ab \in H}$$

2. 各$${a \in H}$$に対し$${a^{-1} \in H}$$

をみたすとき部分群という．

細かい話になりますが，今回と次回をかけて部分群を「もとの群と同じ演算で群になる部分集合」と特徴づけましょう．まずは部分群が群になることから示します．