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中心と共役作用〈龍孫江の群論道具箱〉

 共役作用による固定化群という観点から,中心化群,および中心を導入しました.この由来からもわかるように,共役作用は中心と密接な関係にあります.

https://youtu.be/Z0oOydrlzmU

定理(中心と共役作用)

群$${G}$$の要素$${g}$$に対し,以下は同値である:

(1) $${g \in Z_G}$$,すなわち任意の$${x \in G}$$に対し$${gx = xg}$$;

(2) $${\phi_g = \operatorname{id}_G}$$,ここで$${\phi_g}$$は$${g}$$が定める内部自己同型とする;

(3) $${Z_g = G}$$,ここで$${Z_g}$$は$${g}$$の中心化群とする;

(4) $${G(g) = \{g\}}$$,ここで$${C(g)}$$は$${g}$$を含む共役類とする.□

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794字

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