中心と共役作用〈龍孫江の群論道具箱〉
共役作用による固定化群という観点から,中心化群,および中心を導入しました.この由来からもわかるように,共役作用は中心と密接な関係にあります.
定理(中心と共役作用)
群$${G}$$の要素$${g}$$に対し,以下は同値である:
(1) $${g \in Z_G}$$,すなわち任意の$${x \in G}$$に対し$${gx = xg}$$;
(2) $${\phi_g = \operatorname{id}_G}$$,ここで$${\phi_g}$$は$${g}$$が定める内部自己同型とする;
(3) $${Z_g = G}$$,ここで$${Z_g}$$は$${g}$$の中心化群とする;
(4) $${G(g) = \{g\}}$$,ここで$${C(g)}$$は$${g}$$を含む共役類とする.□
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794字
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