イデアルの和〈龍孫江の環論道具箱〉

　イデアルの観察が始まりました．与えられた部分集合$${S}$$を「もっともよく近似する」イデアルとして$${S}$$が生成するイデアルを定義しましたが，これを特別な場合に記述していきましょう．

　きっかけとなったのは，イデアルの合併$${I \cup J}$$がイデアルになるとは限らないという事実でした．であれば，$${I \cup J}$$で生成されるイデアルがどう記述されるのか気になるところです．

定義（イデアルの和）

環$${A}$$のイデアル$${I, J}$$の和$${I+J}$$を次で定義する．

$${I+J := \{ x+y \mid x \in I, y \in J \}. }$$

補題（イデアルの和はイデアル）．

$${I+J}$$は$${I \cup J}$$が生成するイデアル$${\langle I, J \rangle}$$に等しい．