指数法則と巡回群〈龍孫江の群論道具箱〉

　今回から，部分群を用いて群の観察をしていきます．群がひとつ与えられて「それはどんな群か？」を目指して歩みを進めるとき，まず最初に考えるのは

その群はどんな部分群をどれだけもつか？

でしょう．つまり，与えられた群を「少し小さな群の連なり」に分解しようというわけです（ここでいう「連なり」は定義が明確な数学用語ではなく，ただのイメージ語です）．

https://youtu.be/LX103hYqXlo

　そこで，まずある要素１個から作られる群から考えます．

記法（指数表示）

群$${G}$$の要素$${a}$$と整数$${n}$$に対し

$${ a^n := \begin{cases} \overbrace{a \cdots a}^n & (n > 0) \\ 1 & (n = 0) \\ (a^{-n})^{-1} & (n < 0) \end{cases}}$$

と定める．

注．群$${G}$$の演算が加法の場合は$${ na = a + \cdots + a }$$と「定数倍」のように表します．

補題（指数法則）

整数$${m , n}$$に対し $${a^m \cdot a^n = a^{m+n}}$$，$${ (a^m)^n = a^{mn} }$$．