群の定義〈龍孫江の群論道具箱〉

代数学の教科書を繙くと，概ね真っ先に群の定義が登場します．これです．

定義（群）

群（Group）とは下記なるものをいう：

• 器　集合 $${G \ne \empty}$$

• 機構　２項演算 $${m \colon G \times G \to G}$$，要素 $${1 \in G}$$
  ただし，$${a, b \in G}$$に対し$${m(a,b)}$$を$${ab}$$（または$${a \cdot b}$$）と表す．この演算の結果$${ab}$$をしばしば$${a}$$と$${b}$$の積と呼び，また演算自体を乗法と呼ぶ（演算の呼称については回を改めて述べる）．

• 公理系

  • 結合則 あらゆる$${a,b,c \in G}$$に対し$${(ab)c = a(bc).}$$

  • 単位元 あらゆる$${a \in G}$$に対し$${1 \cdot a = a \cdot1 = a.}$$
    この要素$${1}$$を$${G}$$の単位元という．

  • 逆元の存在 あらゆる$${a \in G}$$に対し，$${a \cdot b = b \cdot a = 1}$$なる$${b \in G}$$が存在する．
    この$${b}$$を$${a}$$の逆元という．