剰余環の普遍性〈龍孫江の環論道具箱〉

　前回は「準同型の経由」という関係を紹介しました．今回は，この関係を利用して剰余環（と自然な全射）を特徴づけます．

https://youtu.be/-DSbw9sKRPQ

定理（剰余環の普遍性）

$${A}$$を環，$${I}$$を$${A}$$のイデアルとするとき，自然な全射$${\pi \colon A \to A/I}$$は次の性質をもつ：

（普遍性）準同型$${f \colon A \to B}$$が$${I \subset \ker f}$$をみたすとき，$${f}$$は$${\pi}$$を一意的に経由する，すなわち$${f = g \circ \pi}$$なる$${g \colon A/I \to B}$$がただ１つ存在する．