☕JavaPlex入門
パーシステントホモロジー（Persistent Homology）は、トポロジカルデータ解析（TDA: Topological Data Analysis）の中核をなす手法の一つで、データのトポロジカル（形状の）特性を捉えるための数学的ツールです。特に、高次元データや雑音のあるデータの形状を研究する際に有用です。
ここでは、パーシステントホモロジーの基本的な考え方を説明します：フィルトレーション: データを構築するために、点の集合を成長させるプロセスを考えます。具体的には、各点に対して球を配置し、その球の半径を0から徐々に増加させることで、球同士が重なり合うことで複雑な形状（例：線、面など）が形成されることを考えます。
ホモロジーグループ: この成長させた形状に対して、その形状の「穴」の数や形を調査します。ホモロジーグループは、この「穴」の数や形を表す数学的なオブジェクトです。
パーシステンス: 半径を増加させることで形成される「穴」は、ある半径で現れ、別の半径で消えることがあります。この「現れる」半径と「消える」半径のペアを考えることで、データのトポロジカルな特性やその持続性を捉えることができます。
パーシステントダイアグラム: これは、パーシステントホモロジーの結果を視覚化するためのツールで、x軸に「穴」が現れる半径、y軸に「穴」が消える半径を取り、それぞれの「穴」を点で表現します。
Javaplex は、トポロジカルデータ解析（Topological Data Analysis, TDA）に使用されるソフトウェアライブラリです。このライブラリは、データセットの形状や構造を数学的に研究するために設計されており、主にパーシステントホモロジーという手法を利用しています。
パーシステントホモロジーは、データのスケールによる変化を捉え、データの基本的な「形」や「構造」を理解するのに役立ちます。Javaplex を使用すると、データセットに含まれる穴や空隙、連結成分などのトポロジカルな特徴を抽出し、それらがどのように現れ、消えるかを追跡することができます。
具体的には、Javaplex を利用して以下のような解析が可能です：
**パーシステント図（Persistence Diagrams）**の作成：データのトポロジカルな特徴が現れるスケールと消えるスケールをプロットした図。
**バーコード（Barcodes）**の生成：データの各特徴が持続するスケール範囲を示すバーコードのようなグラフィック。
Javaplex は Java で実装されているため、Java の環境で動作しますが、MATLAB や Python からも利用することができるインターフェイスが提供されています。これにより、広範な数学的、工学的な問題に対して広く応用することが可能です。
このツールは研究目的や複雑なデータ分析において非常に有用で、科学的研究だけでなく、工業、医療、ネットワーク分析など多岐にわたる分野での応用が考えられます。
持続的ホモロジーとは，空間の位相的特徴を異なる空間解像度で計算する手法である．より持続的な特徴は，幅広い空間スケールで検出され，サンプリングやノイズ，あるいは特定のパラメータの選択によるものではなく，基礎となる空間の真の特徴を表している可能性が高いと考えられる．空間のパーシステントホモロジーを求めるためには，まずその空間を単純複素数として表す必要がある．基礎となる空間上の距離関数は、単純複素数のろ過に対応し、それは増加する部分集合の入れ子になっている。
永続的なホモロジーとその機能については、Gunnar Carlssonによるサーベイ記事「Topology and Data」を推奨する。
応用数学において、トポロジーに基づくデータ解析（TDA）は、トポロジーからの技術を用いたデータセットの解析へのアプローチである。高次元で、不完全で、ノイズの多いデータセットから情報を抽出することは、一般的に困難である。TDAはこのようなデータを、選択された特定のメトリックに依存しない方法で分析する一般的なフレームワークを提供し、次元の削減とノイズに対する頑健性を実現する。それ以上に、位相的な性質から現代数学の基本概念であるfunctorialityを継承しており、新しい数学的ツールへの適応を可能にしている。
https://github.com/appliedtopology/javaplex/wiki/Tutorial
appliedtopology-javaplex-56ce855
トポロジカルデータ解析（TDA）は、大きな可能性を秘めた成長分野である。残念ながら、実際のデータセットでTDAを行うために使用されるソフトウェアを習得することは、自明ではないタスクであり、しばしば参入への障壁となっています。このGistは、Rでトポロジカルデータ解析（特に、Vietoris-Rips単純化錯体を用いた持続的ホモロジー）を行うためにTDAstatsパッケージを使用するためのわかりやすいチュートリアルを提供します。
パーシステントホモロジーは、表向きはトポロジーの変化を測定しているが、マルチスケールな幾何学的情報を捉えている。これは、点パターンの解析のための自然なツールである。
パーシステントホモロジー結果の主成分分析（PCA）。182,707 枚の葉を (A) 1/Aspect Ratio, (B) Circularity, (C) Solidity 8 で色分けし、主成分 2 (PC2) と PC1 を比較したものである。Aspect RatioとSolidityの値は、より均等な分布になるように変換されている。従来の形状記述子と持続的相同性PCとの間に非線形関係があることに注意。(D）アスペクト比、円形度、立体度とPC1〜69（変動の90％を占める）の相関。正のスピアマンのρ値は青色で、負のスピアマンのρ値は黄色で表示されている。(E) 密度プロットは、持続的相同性PCAにおける選択された分類群の分布を示し、(F) ClimateとLeafsnapデータセット（世界75地点の141科の植物）は黒点で重ね合わせる。分類群は色で示され、記述子値の全体平均に近い代表的な葉のシルエットが提供される。
PCAとは別のもののようだ
持続的ホモロジーと離散モース理論をつなぐ形状再構築への応用について話していただきます。主催者の皆様に感謝申し上げます。私の話題は、今年発表したプロジェクトに基づくもので、Julie Bowerさんとの共同作業に基づいています。私は持続的ホモロジーと離散モース理論の架け橋を約束しているので、まずはこれらについて簡単に説明したいと思います。持続的ホモロジーでは、R^dの有限な部分集合（例えば点のクラウド）から出発し、その部分集合に対する閉じたボールのネルフによって与えられるカバーを使用して、チェック複体として知られる単体複体を構築します。そして、これにより、単体複体のフィルトレーション全体が得られます。このフィルトレーションでは、ホモロジーなどの代数的な量の進化が関心の対象となります。これらは、例えば複体の中の1次元の穴をコンビネータリーに関連付けることができます。離散モース理論は、滑らかなモース理論の離散アナログであり、単体複体上の関数を扱います。離散モース関数は、単体複体上の単調関数であり、複合体を対称ペアに分割します。これらの関数とその勾配は、折り畳みをエンコードでき、形状の再構築に役立ちます。この架け橋の背景には、形状再構築の動機があります。具体的には、デロネ複体やその部分複体の一つであるRep複体が重要です。Rep複体は、元々Elspertによって表面再構築のために導入され、後に離散モース理論によって再定義されました。これらの複体は、形状のより正確な再構築に貢献します。また、持続的ホモロジーと離散モース理論の計算的側面の間には重要な関連性があります。具体的には、持続的ホモロジーの計算においてアパレントペアがどのように使用されるか、そしてRep複体が持続的ホモロジーとどのように関連するかを探求しています。そして、最後に、形状再構築におけるホモロジー的手法の新しい方法についても触れています。
このプレゼンテーションでは、持続的モロロジーと離散モース理論との関連について説明されました。まず、離散モース理論を基に持続的特性を代数的モース理論の観点から解釈し、持続的ペアが代数的な勾配を形成する方法を示しました。また、徹底的な行列の縮約が勾配の充填に対応することを明確にしました。
さらに、レキシコグラフ的に最小限のサイクルについて、カーエンダーカーズによる関連する最小のサイクルが代数的な勾配フローによって不変であることを示しました。そして、これらの洞察を基に、離散モース理論または一般化された離散モース理論を介してレプレックスを通じてデラップ複合体に接続する方法を説明しました。
最後に、高次元および次元フリーの実験を通じて、持続的サイクルのトポロジカルおよび幾何学的な特性に関するさらなる洞察を得る必要性を述べました。
この研究の主要な定理は、デラップ複合体のレキシコグラフ的に最小限のサイクルが常に対応するレプレックスでサポートされているというものです。これらの洞察と結果は、持続的モロロジーと離散モース理論の接続を強化するものであり、数学的なアプローチとトポロジカルなアプローチの間に強いリンクを確立することができます。
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