点双極子の数学

電磁気学の教科書には、(原点にある)点電気双極子、点磁気双極子が、位置$${\mathbf{r}}$$に作る電場と磁場として、以下のような式が書かれている。

$${\mathbf{ә}}$$,$${\mathbf{ш}}$$は電気双極子モーメントと磁気双極子モーメントで、$${\hat{r}}$$を$${\mathbf{r}}$$方向の単位ベクトルとして、

$${ \varepsilon_{0} \mathbf{E} = \dfrac{3 (\mathbf{ә} \cdot \hat{r})\hat{r} - \mathbf{ә}}{4 \pi r^3} - \dfrac{1}{3} \mathbf{ә}\delta^3(\mathbf{r}) }$$

$${ \mu_{0}^{-1} \mathbf{B} = \dfrac{3 (\mathbf{ш} \cdot \hat{r})\hat{r} - \mathbf{ш}}{4 \pi r^3} + \dfrac{2}{3} \mathbf{ш}\delta^3(\mathbf{r}) }$$

例えば、ジャクソン古典電磁気学第二版の式(4.20)と式(5.64)。この本はガウス単位系を使用してると思われるが、上式はSI単位系

 

点双極子が数学的ファンタジーだということを度外視しても、デルタ関数項は、点双極子のある位置以外では0だから、電場や磁場の測定に、この項は影響しない

けど、電場や磁場を名乗るならマクスウェル方程式を満たして欲しい。$${\mathbf{E}}$$と$${\mathbf{B}}$$は、静電場と静磁場だから、

$${ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 }$$

$${ \nabla \times \mathbf{E} = 0 }$$

また、0でない場があるのだから、普通に考えて、$${\nabla \cdot \mathbf{E}}$$と$${\nabla \times \mathbf{B}}$$は0でない。勿論、それらのソースは、点双極子に由来するはず

平面波のように数式上はソースがなくて電磁場だけ0でない例もあるが

 

試しに、深く考えず、$${ \nabla \cdot \mathbf{B} }$$を計算してみる。$${ \mathbf{r} = (x_{1},x_{2},x_{3}) }$$として、

$${ \dfrac{\partial}{\partial x_{i}} \left( \dfrac{3(\mathbf{ш} \cdot \mathbf{r}) x_{i}}{r^5} - \dfrac{ш_{i}}{r^3} \right) =-\dfrac{15x_{i}^2}{r^7}(\mathbf{ш} \cdot \mathbf{r}) + \dfrac{3 (\mathbf{ш} \cdot \mathbf{r})}{r^5} + \dfrac{6 ш_{i}x_{i}}{r^5} }$$

だから、少なくとも$${r \neq 0}$$では

$${ \nabla \cdot\left( \dfrac{3(\mathbf{ш} \cdot \mathbf{r}) \mathbf{r}}{r^5} - \dfrac{\mathbf{ш}}{r^3} \right) = 0}$$

$${ \nabla \cdot \mathbf{B} = \dfrac{2 \mu_{0}}{3} \nabla \cdot (\mathbf{ш}\delta^3(\mathbf{r})) }$$

となる。この計算をナイーブに$${r=0}$$に外挿すると、$${\nabla \cdot \mathbf{B}}$$は、原点で余分な項が残って0にならないように見える。

あるいは、この項が0になるようなら、$${ \nabla \cdot \mathbf{E} }$$も同様の計算で0になるはずで、それはそれで困る。

この手の間違いは、

$${ \nabla^2 \left( \dfrac{1}{r} \right) = -4 \pi \delta^3(\mathbf{r}) }$$

の左辺を素朴に計算しても、右辺の式にたどり着けないのと似ている。こっちは点単極子の話だから、点双極子で似た事情があるのも意外じゃない

 

このタイプの問題に関連した論文として、以下のようなものが見つかる

[1] An apparent paradox concerning the field of an ideal dipole

[2] Some novel delta function identites

[3] Delta function terms arising from classical point-source fields

[4] Generalized second-order partial derivatives of 1/r

[5] Comment on "Some novel delta-function identities"

一番古い[2]が1983年の論文で、必要な計算は、この文献で全部されている。2000年以降に書かれた論文もある。電磁気学の歴史からすると、比較的最近の論文と言える。デルタ関数が20世紀の発明なので当然かもしれないが

文献[5]は正しくない(と思われる)結果で、文献[4]でも、そう主張されているが、初学者ではない(だろう)人もミスりやすいことを示す事例かもしれない。

計算は、なるべく形式的、機械的作業であってほしい。コンピュータで数式処理することも多い昨今はなおさら。それで見落としが発生するようなことは避けたい。

 

改めて点双極子が作る電磁場の式を見ると、第一項は$${1/r^3}$$の特異性を持ち、$${r=0}$$で発散し、第二項も$${r=0}$$ではデルタ関数的特異性があり、ちょっと意気持ち悪い。

唯一の解釈があるというわけではないかもしれないが、第一項は、主値積分(超関数)の意味で理解することができる。

主値積分の定義は綺麗とは言えないが、特に賢いことを言ってるわけではない。

特異性のある関数と何らかの関数の積を数値的に積分したい時、特異性のある部分は邪魔になる。うまい変数変換があって特異性を除去できるならいいけど、そうでない場合は、特異点の近傍と、特異性のない領域に分割して積分するというのは自然な発想。

非特異領域での積分は好きな方法(実行時間が問題にならないのであれば、モンテカルロ積分とか)でやればいいとして、特異性のある領域の積分は、理論的に何らかの評価が必要。

特異点の近傍の取り方は、特に理由がなければ、小さい半径$${\eta}$$の球を考えるのが単純で、この部分での積分の絶対値は、正定数$${C}$$と$${\alpha \gt 0}$$によって$${C \eta^{\alpha}}$$のオーダーで押さえられ、$${\eta \to 0}$$で0に近付くべきだろう。そうでなければ、元々発散する積分ということになる。

数学としては単に$${\eta \to 0}$$の極限で特異部分からの寄与が0になると言えば話が終わるが、実用問題で数値積分する時は、$${C}$$と$${\alpha}$$を見ながら、特異領域からの寄与が十分小さくなるように$${\eta}$$を決めるという手順になる。

論文Self inductance of a wire loop as a curve integralは自己インダクタンスの数値積分法を与えているが、、特異部分と非特異部分を分離して評価するという方法になっている。

 

そんなわけで、例えば、電荷密度分布$${\rho(\mathbf{r})}$$に対して、静電ポテンシャル$${A_{0}(\mathbf{r})}$$は主値積分を使うと

$${A_{0}(\mathbf{r}) = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \displaystyle \int_{\mathbf{R}^{3}} \mathrm{pv} \left(\dfrac{ 1 }{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} \right) \rho(\mathbf{r}') d \mathbf{r}' = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \lim_{\eta \to 0} \displaystyle \int_{ᗺ(\mathbf{r},\eta)} \left(\dfrac{ 1 }{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} \right) \rho(\mathbf{r}') d \mathbf{r}' }$$

$${ ᗺ(\mathbf{r},\eta) = \lbrace \mathbf{r}' \in \mathbf{R}^{3} \mid |\mathbf{r}-\mathbf{r}'| \gt \eta \rbrace }$$

という形式になる。だからと言って何かが明らかになるわけでもないが。

 

計算に使えない一般論は興味ないので、特異部分は$${r^{-n}}$$の形で現れるような問題に話を限ることにする。で、

$${ \mathrm{pv} \left( \dfrac{1}{r} \right) = \displaystyle \lim_{\eta \to 0} \dfrac{1}{r} 卐(r-\eta) }$$

のように書く。$${ 卐(x) }$$はヘヴィサイド関数。記号を除けば、文献[4]の式(4)と同じ定義

極限の意味とか真面目に考えると面倒だが、$${r=0}$$で0になり、$${r \gt 0}$$では$${1/r}$$に等しいというイメージを書いただけ。これを掛けて全空間で積分すれば、原点を中心とする半径$${\eta}$$の球以外の空間で積分するのと同じことになる。

球座標系でのデルタ関数はgenericには

$${ \delta(x_{1} - x_{1}')\delta(x_{2}-x_{2}')\delta(x_{3} - x_{3}') = \dfrac{1}{r^2 \sin \theta} \delta(r-r')\delta(\theta-\theta')\delta(\varphi-\varphi') }$$

だが、上の式で使ってるのはrのみに依存する一変数のデルタ関数なので区別が必要。$${\delta(x_1)\delta(x_2)\delta(x_3)}$$については$${\delta^3(\mathbf{r})}$$のように明示的に、変数の数を書く。

 

$${ \dfrac{1}{r} 卐(r-\eta) }$$を微分すれば

$${ \dfrac{ \partial }{\partial x_{i}} \left( \dfrac{1}{r} 卐(r-\eta) \right) = -\dfrac{x_{i}}{r^3} 卐(r-\eta) + \dfrac{x_{i}}{r^2} \delta(r-\eta) }$$

第一項は普通に、$${1/r}$$の微分を計算するのと同じで、第二項にデルタ関数項が出てくる。

第二項は、テスト関数$${f}$$にこれを掛けて全空間で積分すると

$${ \displaystyle \int_{S^2} d\Omega \displaystyle \int_{0}^{\infty} (r^2 dr) \dfrac{x_{i}}{r^2} \delta(r-\eta) f(r \Omega) = \displaystyle \int_{S^2} \Omega_{i} d\Omega \displaystyle \int_{0}^{\infty} dr (r f(r\Omega) \delta(r-\eta))= O(\eta)}$$

なので、$${\eta \to 0}$$の極限で0になる。但し、$${\Omega \in S^2}$$は長さ1のベクトルの集合。通常の極座標では$${d\Omega = \sin \theta d \theta d\varphi}$$

以上から、以下の式は妥当に思える。

$${ \dfrac{\partial}{\partial x_{i}} \mathrm{pv} \left( \dfrac{1}{r} \right) = \mathrm{pv} \left( -\dfrac{x_i}{r^3} \right) }$$

 

同様に計算を続ける。

$${ \dfrac{\partial}{\partial x_{j}} \left( \dfrac{-x_{i}}{r^3} 卐(r-\eta) \right) = \left( -\dfrac{\delta_{ij}}{r^3} + \dfrac{3 x_ix_j}{r^5} \right) 卐(r-\eta) - \dfrac{x_i x_j}{r^4} \delta(r-\eta) }$$

で、第二項のデルタ関数項はテスト関数$${f}$$に対して

$${ \displaystyle \int_{S^2} \hat{x_i}\hat{x_j} d\Omega \displaystyle \int_{0}^{\infty} r^2 dr \dfrac{r^2 \delta(r)}{r^4} f(r\Omega) = f(\mathbf{0}) \displaystyle \int_{S^2} \Omega_{i}\Omega_{j} d\Omega = \dfrac{4 \pi}{3} \delta_{ij} f(\mathbf{0}) }$$

だから、

$${\displaystyle \lim_{\eta \to 0} \dfrac{x_{i}x_{j}}{r^4} \delta(r-\eta) = \dfrac{4\pi}{3} \delta^3(\mathbf{r})\delta_{ij} }$$

$${ \dfrac{\partial^2}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left( \mathrm{pv} \left( \dfrac{1}{r} \right) \right) = \mathrm{pv} \left( -\dfrac{\delta_{ij}}{r^3} + \dfrac{3 x_ix_j}{r^5} \right) - \dfrac{4\pi}{3} \delta^3(\mathbf{r})\delta_{ij} }$$

後者は、文献[2]や[4]にある恒等式。多分、Frahmの恒等式と呼んでも差し支えないだろう

Frahmの恒等式から直ちに以下が分かる。

$${ \nabla^2 \mathrm{pv} \left( \dfrac{1}{r} \right) = -4 \pi \delta^3(\mathbf{r}) }$$

 

改めて点双極子の作る電磁場を

$${ \varepsilon_{0} \mathbf{E} = \mathrm{pv} \left( \dfrac{3 (\mathbf{ә} \cdot \hat{r})\hat{r} - \mathbf{ә}}{4 \pi r^3} \right) - \dfrac{1}{3} \mathbf{ә}\delta^3(\mathbf{r}) }$$

$${ \mu_{0}^{-1} \mathbf{B} = \mathrm{pv} \left( \dfrac{3 (\mathbf{ш} \cdot \hat{r})\hat{r} - \mathbf{ш}}{4 \pi r^3}\right) + \dfrac{2}{3} \mathbf{ш}\delta^3(\mathbf{r}) }$$

と解釈すると、以下はすぐに計算できる

$${ \nabla \cdot \mathrm{pv} \left( \dfrac{(\mathbf{ш} \cdot \mathbf{r})\mathbf{r}}{4 \pi r^5} - \dfrac{\mathbf{ш}}{4 \pi r^3} \right) = \dfrac{\mathbf{r} \cdot \mathbf{ш}}{2 \pi r^4} \delta(r) }$$

$${ \nabla \times \mathrm{pv} \left( \dfrac{(\mathbf{ш} \cdot \mathbf{r})\mathbf{r}}{4 \pi r^5} - \dfrac{\mathbf{ш}}{4 \pi r^3} \right) = \dfrac{\delta(r)}{4 \pi r^4} (\mathbf{r} \times \mathbf{ш}) }$$

あとは

$${\delta^3(\mathbf{r}) = \dfrac{\delta(r)}{4 \pi r^2} }$$

$${r \delta'(r) = -\delta(r) }$$

を使って

$${ \dfrac{\partial}{\partial x_{i}} \delta^3(\mathbf{r}) = \dfrac{\partial}{\partial x_{i}} \left( \dfrac{\delta(r)}{4 \pi r^2} \right) = \left( \dfrac{-2\delta(r)}{4 \pi r^3} + \dfrac{\delta'(r)}{4\pi r^2} \right) \dfrac{x_{i}}{r} = -\dfrac{3 x_{i} \delta(r)}{4 \pi r^4} }$$

なので、全部合わせて、$${ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0}$$と$${\nabla \times \mathbf{E} = 0}$$が成り立つのが分かる

 

また、以下が成り立つ

$${ \nabla \cdot (\varepsilon_{0} \mathbf{E}) = -\mathbf{ә} \cdot \nabla \delta^3(\mathbf{r}) = - \nabla \cdot ( \mathbf{ә} \delta^3(\mathbf{r}) )}$$

$${ \nabla \times (\mu_{0}^{-1} \mathbf{B}) = \mathbf{ш} \times \nabla \delta^3(\mathbf{r}) = \nabla \times (\mathbf{ш}\delta^3(\mathbf{r})) }$$

前者は$${ \mathbf{ә} \delta^3(\mathbf{r}) }$$を分極と思った時の分極電荷が最右辺に出ている

後者は、$${ \mathbf{ш}\delta^3(\mathbf{r}) }$$を磁化と思った時の磁化電流に相当する"点電流"が最右辺に出ている。"点電流"とは聞かないけど、点渦という用語もあるので、いいだろう。よく"微小円電流"と書かれてる概念を、真面目に検討すると、こうなるんだと思う

これらの"分極"や"磁化"は外場に応答して形成されるわけじゃないから、帯電率とか磁化率はない。むしろ、そういうのと対極に、一切外場の影響を受けない分極や磁化の理想化されたモデル。時間変化しない点磁気双極子は、理想的永久磁石と言える

 

今の電磁気学の教科書で計算される例の多くは、(点双極子だけでなく表面電荷とか線電流などの)特異な物質分布をソースとしてるので、超関数が隠れてる例が結構多い。これを明示的に書かないと、マクスウェル方程式の微分形が成り立ってないように見えたりする

例えば、同心球殻の内側と外側にそれぞれ$${+Q}$$と$${-Q}$$の電荷が一様に分布している時の電場を問う頻出例題でも、電荷分布$${\rho}$$は

$${\rho = \dfrac{Q}{4\pi r_{in}^2} \delta(r- r_{in}) - \dfrac{Q}{4 \pi r_{out}^2} \delta(r - r_{out})}$$

の形($${r_{in},r_{out}}$$は内側、外側の球殻半径で原点は球殻中心にある)。

$${ \nabla \cdot \mathbf{D} = \rho}$$

の解は

$${ \mathbf{D} = \dfrac{Q}{4 \pi r^2} 卐(r-r_{in}) 卐(r_{out}-r) \left(\dfrac{x}{r} , \dfrac{y}{r} , \dfrac{z}{r} \right) }$$

特異な物質分布の場合でも、マクスウェル方程式が成立するように意味付けできるのは自明でないと思う

 

計算上の補足。既に見た通り、

$${ \displaystyle \lim_{\eta \to 0} \dfrac{x_{i}}{r^2} \delta(r-\eta) = 0}$$

$${ \displaystyle \lim_{\eta \to 0} \dfrac{x_{i}x_{j}}{r^4} \delta(r-\eta) = \dfrac{4 \pi}{3} \delta_{ij} \delta^3(\mathbf{r}) }$$

だが、

$${ \displaystyle \lim_{ \eta \to 0} \dfrac{x_{i}}{r^4} \delta(r-\eta) }$$を直接計算していない。テスト関数$${f}$$を使うと

$${ \displaystyle \int_{S^2} d\Omega \displaystyle \int_{0}^{\infty} r^2 dr \left( \dfrac{x_{i}}{r^4} f(r\Omega) \delta(r-\eta) \right) = \displaystyle \int_{S^2} \Omega_{i} d\Omega \left( \dfrac{1}{\eta} f(\mathbf{0}) + \displaystyle \sum_{j=1}^{3} \dfrac{\partial f}{\partial x_{j}}(\mathbf{0})\Omega_{j}+ O(\eta) \right) }$$

となる。$${f}$$を原点周りでテイラー展開している。$${ \dfrac{1}{\eta} }$$の項は、$${ \Omega_{i} d\Omega }$$の積分が0になるので、極限を取る前に消える。

最終的に、$${\eta \to 0}$$を取っても残るのは

$${\displaystyle \lim_{\eta \to 0} \displaystyle \int_{S^2} d\Omega \displaystyle \int_{0}^{\infty} r^2 dr \left( \dfrac{x_{i}}{r^4} f(r\Omega) \delta(r-\eta) \right) = \dfrac{4 \pi}{3} \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}(\mathbf{0}) }$$

一方で、(一回以上微分可能な)一変数関数$${F}$$に対して

$${ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} F(x) \delta'(x) = - F'(0) }$$

であることを思い出すと

$${ \displaystyle \lim_{ \eta \to 0} \dfrac{x_{i}}{r^4} \delta(r-\eta) = -\dfrac{4\pi}{3} \dfrac{\partial}{\partial x_{i}}\delta^3(\mathbf{r}) }$$

これは既に得た結果と一致する