標本平均の分散の文系的説明

個人的に標本平均の分散の公式を頭に入れるのにかなり苦戦した覚えがあるので、文系の人でも感覚的にわかりやすいような解釈をメモとして残しておこうかと思っています。式よりも文章中心に記述します。
（筆者は文系学部出身です。）

まず母集団の平均がμ、分散がσ²の母集団からｎ個の標本を取得した際の標本平均X¯について考えてみましょう。
X¯は標本{X₁,X₂, … Xn}の平均値になります。
X¯の分散V(X¯)はV((X₁+X₂+…+ Xn)/n)と同義であり「定数倍の分散の性質」より、

$${V(X¯)=V((X₁+X₂+…+ Xn)/n)=1/n²・V(X₁+X₂+…+ Xn)}$$

※「定数倍の分散の性質」は分散が「偏差平方和/母数」であるという定義に立ち返ることで、それぞれの標本が定数a倍されたら偏差平方和もa²倍になり分散も同様だということで直観的に納得しやすいかと思います。

また、V(X₁+X₂+…+ Xn)は「和の分散の性質」よりV(X₁)+V(X₂)+…+V(Xn)で、標本{X₁,X₂, … Xn}について分散はいずれもσ²なので、

$${V(X₁+X₂+…+ Xn)=V(X₁)+V(X₂)+…+V(Xn)=nσ²}$$

となり、よって標本平均の分散の公式は以下の通りになります。

$${V(X¯)=1/n²・nσ²=σ²/n}$$

つまり「標本平均の分散=母分散/標本数」となっています。
この公式を覚えるためには以下の2点を意識するのがよさそうです。
①標本平均は標本{X₁,X₂, … Xn}の平均、と分解して考える。
②「定数倍の分散の性質」（分母に影響）、「和の分散の性質」（分子に影響）の両方から導出。

本記事が読者の方の参考になれば幸いです。
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