ハイレベル理系数学～１～

　このシリーズは、河合塾の「ハイレベル理系数学」の解答/解説に注釈をつけて、解りやすくしたものです。元の「ハイレベル理系数学（三訂版）」を見ながらでないと、このnoteだけでは何のことを書いてるか解らないです。

例題４

• 和が$${n}$$を考えるので、$${k}$$は任意の数に分けられる。

• $${n=3k+1,n=3k+2}$$を$${3}$$の倍数と$${0,2,4(2}$$の個数が$${0～2)}$$の和で表現する。

問２

• $${f}$$を$${n}$$次の式として展開し、$${f}$$の次数を確認する。

• 二項展開

• $${f(0)}$$と$${f(-1)}$$を$${f(1)=1,f(2)=2}$$を使って求める。

• $${f(-1)-1=0,f(0)-1=0,f(1)-1=0}$$だから、因数定理によって、$${f(x)-1}$$は、$${x+1,x,x-1}$$を因数にもつ。

• $${\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}$$

問３

（１）

• $${f(x)=(x-1)^2×Q(x)+ax+b}$$として微分する。→解２

• $${x}$$を$${1+(x-1)}$$に分けて$${x}$$を$${n}$$乗して二項展開。

• 二項展開したときの$${k=0}$$は、$${1}$$。

（２）

• $${(x+1)^2×(x-1)^2=(x^2-1)^2}$$だから、$${x}$$を$${x^2}$$で置き換える。

• $${x}$$を$${x^2}$$で置き換えると、$${2k}$$が出てくるから、偶数と奇数で場合分けが必要。

問５

• $${|f(x)|=|g(x)|}$$だから$${\{f(x)\}^2=\{g(x)\}^2 \Leftrightarrow \{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2=0}$$となる$${x}$$が$${1,2,3}$$で、$${ \{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2}$$は$${f(x)}$$が$${2}$$次式だから$${4}$$次式。

• $${g(x)}$$が$${1}$$次式だから$${\{g(x)\}^2}$$には$${3}$$次の項はない。

問６

（１）

• $${2x+2y+2z=a+b+c}$$となるので、$${x+y=c}$$を代入。

• 奇数の$${n}$$乗は奇数、奇数$${-}$$奇数と偶数$${-}$$偶数は必ず偶数。

• $${2}$$で割ったものが整数になるのは必ず偶数。

• 三角形の面積$${\cfrac{ab}{2}=2\left(\cfrac{1}{2}\right)yr+2\left(\cfrac{1}{2}\right)xr+r^2=r(y+x)+r^2}$$となる。ここに$${y+x=c}$$を代入して$${\cfrac{ab}{2}=rc+r^2=r(c+r)}$$となるから、$${(c+r)}$$の$${r}$$だけに$${r=\cfrac{a+b-c}{2}}$$を代入。

問８

• $${5^2≡12≡-1 \bmod 13}$$

• $${5^6=(5^2)^3≡(-1)^2 \bmod 13 =1}$$

• $${5^3≡8≡-5 \bmod 13}$$

• $${5^9=(5^3)^3≡(-5)^3=-125≡-(5^3)≡-(-5)=5 \bmod 13}$$

問１１

• 余りに同じものが２つあるときは、元の割られる数同士を引き算すると余りが$${0}$$になる。

問１２

（１）

• 一般に$${a,n,l}$$を整数として$${a^l≦n＜a^{l+1}}$$となる$${l}$$はひとつだけ。

（２）

• 有理数は自然数分の自然数

問１３

（２）

• OA$${=(a_x,a_y)}$$、OB$${=(b_x,b_y)}$$としてOABの面積は$${\cfrac{|a_xb_y-b_xa_y|}{2}}$$

（３）

• ３点は同一直線上にない→２点は同一直線上にある。

• 格子点間の中点が整数になるなら、三角形の面積は整数になる。←(2)の結論

• 格子点座標の偶奇が同じパターンで揃わないとその中点は整数にならない。←(1)の結論

問１４

（１）ⅰ

• $${x}$$最大$${-x'}$$最小が$${xｰx'}$$の最大値

• $${b}$$も$${x}$$も$${x'}$$も自然数だから、$${-(b-2)≦x-x'≦b-2}$$であれば、$${x-x'}$$が$${b}$$の倍数にはならない。

（１）ⅱ

• $${b}$$も$${x}$$も自然数だから、$${x≦b-1}$$であれば、$${b-x≦b-1}$$。

（１）ⅳ

• $${a_x+b_y<ab}$$だから$${a_x+b_y=ab}$$の線より下で、$${ax+by≠ab}$$だから$${(1,a)}$$と$${(b,1)}$$の点は含まれないので$${(a-1)×(b-1)}$$個の半分。

（２）ⅰ

• $${k<l}$$で$${k}$$も$${l}$$も$${1}$$以上$${a}$$以下の整数だから、$${l-k}$$は$${1}$$以上であり、$${l-k}$$も$${a}$$になる事はないので$${a-1}$$以下。

• $${1≦l-k≦a-1}$$で$${l-k}$$は自然数だから、$${l-k}$$は$${a}$$未満の自然数。$${b}$$が$${a}$$の倍数でなければ、$${(l-k)b}$$が$${a}$$の倍数にはなり得ない。

• $${lb}$$と$${kb}$$を$${a}$$で割った余りが同じならば、$${\cfrac{lb-kb}{a}}$$は、$${\cfrac{lb}{a}}$$の余りを$${\cfrac{kb}{a}}$$の余りが打ち消して$${a}$$で割り切れる。→$${lb}$$と$${kb}$$を$${a}$$で割った余りはいつも異なる。

• $${l}$$も$${k}$$も$${a}$$以下の任意の整数であるから、$${l_b}$$や$${kb}$$について言えることが$${1b～ab}$$のどれでも同じことが言える。また同じ理由で$${ab}$$は$${a×a}$$未満の整数なので、$${1b～ab}$$を$${a}$$で割った余りが全て異なりかつ網羅されていると言える。

• $${(a+1)b～(a+a)b}$$の余りも$${1b～ab}$$を$${a}$$で割った余りと同じ←合同式

• 任意の整数$${n}$$を$${a}$$で割った余りも必ず$${1b～ab}$$を$${a}$$で割った余りの中にある。ので、これは$${b}$$の倍数として$${yb}$$とする。

• $${n}$$から$${a}$$で割った余りを引いた数は$${a}$$で割り切れるから$${a}$$の倍数。$${n}$$が自然数だからこれも自然数。

• $${n}$$は$${ab+1}$$以上の任意の数であり、これを$${ax+by}$$で表現できた。

（２）ⅱ

• $${n}$$の最小値は$${ab+1}$$だから、$${n}$$は$${1～ab}$$のなかにある。