PieceCHECK(2024-35) なす角のcosの最大値

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【最新巻】『数学Ⅰ～データの分析～』販売開始！！

これで『Principle Piece』シリーズはすべて出そろいました！！

一覧のページです＾＾

1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法、すなわち

原則(Principle Piece)

を出来る限り分かりやすく、そして詳しく言葉に落とし込んだ数学の問題集です。解答の詳しさはもちろんですが

「なぜそのような解答になるのか」が分かる

ことを、とにかく意識した参考書になります。

単元自体を未習の方も、本シリーズで最初から体系的に高校数学を学べます。そして、学習後の到達レベルは「難関大入試合格最低点レベル」です！

今回の問題

YouTube動画をUPしました。今回は2015年の京都大学(理系)から、四面体に関するなす角の cos の最大値を求める問題です。

思考時間は約5分、目標解答時間はそこから約15分です。

解説・原則など

四面体ABCDの辺上に2点Ｐ，Ｑをとり、cos∠PDQの最大値について考える問題。空間でなす角、そしてcosですから、まず内積が思い浮かんで欲しいところです。
もしcosの指定がなく、平面であればtanの利用も考えられます。

なす角(の三角関数の最大・最小)→[1] 内積からcos　[2] tanの加法定理

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学B・C～平面ベクトル～』p.71参照

今回は内積利用です。空間ベクトルで内積が絡むなら、「基本6量」の設定です。

内積絡みの空間ベクトルの問題は基準3ベクトルおよび「基本6量」の決定を

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学B・C～空間ベクトル～』p.36参照

今回は無難に$${\overrightarrow{\mathrm{AB}}、\overrightarrow{\mathrm{AC}}、\overrightarrow{\mathrm{AD}}}$$でいいでしょう。内積はすべて$${\frac{1}{2}}$$です。

これをもとにして、cos∠PDQの式を出すと、根号の中身が分数式になります。理系ならこれを微分すればOKですが、動画では文系でも解ける方法を2通り紹介しています。

最初は、分子が$${(　　)^2}$$のような形をしている場合は、中身を主役にするとスッキリするというものです。分母が2次式にみなせるので、平方完成だけで最大・最小が分かります。

もう一つは、$${\frac{2次式}{2次式}}$$の形をしているので、まず帯分数表記にし、相加・相乗を用いるという流れですね。2つの原則をセットで使っています。

分数式は帯分数表記にする

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅱ～式と証明～』p.18

2次式／1次式　またはその逆数なら相加・相乗も視野に

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅱ～式と証明～』p.59

ただし今回は係数の関係でかなり煩雑な式になりますので、結果的にはしんどい解法になりそうです。理系なら微分したほうがミスも少ないでしょう。

１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。

２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。

３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。

関連する拙著『Principle Piece』シリーズ

Principle Piece シリーズは、1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法(原則:Principle)によって、「なぜその解法が思い浮かぶのか」「なぜ解答の1行目がそれになるのか」を意識して書き上げた参考書です。

大手ネットショップBASEでも、デジタルコンテンツとして販売しています。

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解答

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