PieceCHECK(2023-39) 2023年良問BEST15(14位) カードの数の和と確率

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夏休み期間中は2023年良問BEST15と題して、2023年に出題された入試問題のうち、解く価値のある良問と思ったものをランキング形式で紹介していきます。

お知らせ

拙著シリーズ『Principle Piece 数学B・C～式と曲線～』
販売開始しました！(23/07/20)

今回の問題

YouTube動画をUPしました。2023年良問BEST15の第14位は神戸大学理系で出題された確率の問題です。

思考時間は15分、目標解答時間はそこから約15分です。

こちらの記事では、動画の中で紹介した解説(答え)を少し丁寧にした答案を、静止画像にて掲載しておきます。

解答

解説・原則など

カードの数字の和に関する確率を求めます。最初は基本的で落せませんが、(3)は難しめで、それでも捨て問級ではないので、適度に差がつく良問です。

(1)(2)では和が●の倍数になる確率ですが、これは基本的な原則を用いれば簡単に解けます。

目の和が●の倍数 → ●で割った余りで分類しておく

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学A～確率～』p.14

(3)は一般の$${n}$$絡みの確率です。(1)(2)に比べるとはるかに応用的な原則ですが、しっかり勉強していれば身についている原則のはず。

$${\bm n}$$絡みの確率は「実験→一般化→シグマ計算」

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学B・C～数列～p.109』

解答では、条件を不等式で表して領域図示しました。こうすると、$${x}$$か$${y}$$を固定して計算するという原則が思いつきやすいかと。

格子点(整数解)の個数→1文字固定してシグマ計算

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学B・C～数列～p.91』

別解では余事象を考えています。まず$${x+y \leqq 2n}$$を満たす整数解の個数ですが、これは1文字増やして等式に変えるんでしたね。

不等式なら1文字増やして等式に変える

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学A～集合と場合の数～p.70』

これで〇と仕切りで考えることが出来ます。さらに対称性を活かすことで、$${x=y}$$となるときを引いて2で割ればOKということです。

１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。

２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。

３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。

Piece CHECKシリーズは、出来あがった答案からは見えない部分を解説していくことで、「なぜそうやって解くのか」「いったいどこからそんな答案が生まれるのか」が分かることを意識して書き上げた参考書です。

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