PieceCHECK(2023-30) 方程式の解に三角関数

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今回の問題

YouTube動画をUPしました。今回は県立広島大学の問題で、3次方程式の解が三角関数で表されているときの係数の存在範囲です。

思考時間は5分、目標解答時間はそこから約10分です。

こちらの記事では、動画の中で紹介した解説(答え)を少し丁寧にした答案を、静止画像にて掲載しておきます。

解答

解説・原則など

3次方程式の解の情報があることから、まずは解と係数の関係の利用を思いつきたいところ。

3次方程式の解情報→解と係数の関係を利用

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅱ～複素数と方程式』p.34

解と係数の関係により得られる式は基本対称式です。今回は1つが１なので、残りの$${\sin \theta ,\ \cos \theta }$$の対称式が得られます。

$${\sin \theta ,\ \cos \theta }$$の対称式は、足し算の方を2乗することでかけ算の式も表すことが出来るんでしたね。

$${\bm{\sin \theta ,\ \cos \theta }}$$の対称式→$${\bm{\sin \theta +\cos \theta =●}}$$の式を2乗する

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅰ～三角比』p.34

これによって、係数$${a}$$も$${b}$$も$${t=\sin \theta +\cos \theta }$$の式になります。あとはこの媒介変数$${t}$$を消して$${a,b}$$の関係式にすればOK。

媒介変数表示の軌跡→媒介変数を消去する

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅱ～図形と式』p.52

$${a}$$の取りうる範囲は合成ですね。

１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。

２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。

３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。

Piece CHECKシリーズは、出来あがった答案からは見えない部分を解説していくことで、「なぜそうやって解くのか」「いったいどこからそんな答案が生まれるのか」が分かることを意識して書き上げた参考書です。

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