PieceCHECK(2024-11) 3文字の対称式の値
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【お知らせ】数学の問題集『Principle Piece』はほぼ全分野販売中です！！
1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法(原則:Principle)を出来る限り分かりやすく、そして詳しく言葉に落とし込んだ数学の問題集です。
単元自体を未習の方も、本シリーズで最初から体系的に高校数学を学べます。そして、学習後の到達レベルは「難関大入試合格最低点レベル」です！
今回の問題
YouTube動画をUPしました。2018年の静岡大学から、3文字の対称式の値に関する問題です。
思考時間は約5分強、目標解答時間はそこから約10分強です。
解説・原則など
典型的な対称式の問題ですが、3文字で5乗和となるとちょっと戸惑う人も出てくるかもしれません。
(1)は$${xy+yz+zx}$$を、(2)は$${xyz}$$を求める問題です。これはさすがに出来るでしょう。3文字の2乗和、3乗和を基本対称式で表す方法は基本ですね。
$${\bm{x,y,z}}$$の対称式は$${\bm{x+y+z,xy+yz+zx,xyz}}$$を真っ先に計算
(3)は3文字の5乗和の値を用いることになりますが、これを基本対称式だけで表すのはちょっと厳しそうです。そこで今回のコアになる原則です。
次数の高い対称式 → 方程式から漸化式を作る
(1)と(2)の誘導から、解と係数の関係を用いて$${x,y,z}$$を解にもつ3次方程式を作るところまでは思いつくと思います。この方程式に$${x,y,z}$$を代入しても成り立ちます。これをうまく式変形し、さらに辺々を足すことで、$${\bm{x^n+y^n+z^n=S_n}}$$に関する漸化式が作れるわけですね。
今回は直接$${S_5}$$を出します。$${S_4}$$を求めずとも、すでにある条件式で求められますので、$${a}$$も求まりますね。
１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。
２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。
３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。
関連する拙著『Principle Piece』シリーズ
Principle Piece シリーズは、1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法(原則:Principle)によって、「なぜその解法が思い浮かぶのか」「なぜ解答の1行目がそれになるのか」を意識して書き上げた参考書です。
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解答
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