数学 | 数式がなくても手書きで微分できる！

　 この記事では、数式がわからない曲線を微分することを考える。微分の深い意味はさておき、手書きによる微分なら小学生でもできる(と言ったら小学生には大変失礼だが)！！

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そもそも微分とは何だったか？

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二次関数 y＝X^2 をXで微分すると、
y＝２Xになる。

X＝１を代入すればy＝２になるが
これは点(1,1)における接線の傾きが２になること表している。
X＝２を代入すればy＝４になるが
これは点(2, 4)における接線の傾きが４になることを表している。

微分とは、接線の傾きを求めることにほかならない。

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そもそも傾きとは何か？

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「傾き」は、「変化の割合」ともいう。
中学生の一次関数で学ぶ。

変化の割合＝(yの増加量)÷(Xの増加量)

傾きが右上がりのとき、
変化の割合は正の数になり
傾きが右下がりのとき、
変化の割合は負の数になる。

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右上がりのグラフ

傾き(変化の割合)は
正の数

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右下がりのグラフ

傾き(変化の割合)は
負の数

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手書きで微分してみよう

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次の手順で「手書き微分」すれば、
数式が与えられていなくても、
そのグラフの概形を知ることができる。

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まずは１番簡単なy=x を手書き微分してみよう！

一次関数のグラフ

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y = x を微分すれば、
y' = 1 になる。
どこの点を調べても、傾きは「１」だから当然と言えば当然だが。

グラフは次のようになる。

ここまでは教科書通り。
では、手書きの微分に入ります。

傾きは「変化の割合」と同じ。

変化の割合＝(yの増加量)÷(Xの増加量)
だから、
Xの増加量＝１ ならば、
「yの増加量＝変化の割合」　になる。

だから、グラフを次のように
X軸の目盛りの幅を「１」として、
そこに書きこんだ長方形を下にストンと落とせば、大雑把な微分した関数のグラフになる。

こんな感じ(↓)。

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二次関数の場合

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二次関数 y＝Ｘ^2 は微分すると
y'= 2Xになる。

手書きで大雑把に微分すると、次のような感じになる。

X軸の目盛りを「１」に統一して、
長方形(青い長方形)を書く。
そしてその青い長方形をＸ軸にストンと落とす。
落とした後が紫の長方形。
ちょっとみにくいが、一次関数っぽいグラフになる。

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数式がないときの大雑把な微分の仕方

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右方向に１動いたとき上に動けばそのままＸ軸に長方形を落とし、
下に動いた場合は、Ｘ軸の下側に長方形をくっつけると、
大まかではあるが微分のグラフが書ける。