面積を求める

面積とはなんだろうか？
「広さ」と言えば広さだが、思い起こしてみると、一番最初に面積を習ったのは小学生のときだ。

長方形の面積＝縦の長さ×横の長さ

最初に「長方形」の面積を習い、そのあと、「三角形」や「円」の面積を習ったが、一番の基本は「長方形の面積」だろう。

今回の記事は(ヘッダーに示した)「二次関数」とX軸の間にできる部分の面積の求め方を考える。

これは、微積分の公式に当てはめれば、

答えは1/3(３分の１)

になるが、
今回は「基本」通り、「長方形の面積」を使って考えてみる。

０から１の区間を２等分すると下の図のようになる。

白い点線で、囲まれた部分の面積は

(1/2)×(1/4)+(1/2)×１＝5/8

小数で表すと0.625になる。

同様にして、今度は、０から１の区間を三等分して、長方形の和を求めると次のようになる。

点線で囲まれた部分の面積を求めると

(1/3)×(1/9)+(1/3)×(4/9)+(1/3)×１

＝14/27

小数で表すと0.5185.....となる。

次に、０から１の区間を、n等分することを考える。すると、次のようになる。

ここで、(    )内は二乗の整数の和だから次のように書き換えられる。

ここで、n→∞にすれば、

長方形の面積の和は1/3となる。

今回は、微積の公式の代わりに、数列の和の公式を使って面積を求めてみた。