奇数の不思議＃１３

奇数を足していくと、平方数（自然数の２乗）になる、という説明をいくつかしてきたが、今回は等差数列の和の延長線上で説明する。奇数を足していった和の総数をSとする。これはタイトル図の上側の式になる。S=1+3+5+7+9+ … + (2n-1)   この意味はnまでの奇数の和の総数ということだ。例えば、n=3のときには奇数の数が３つで 1 + 3 + 5 で9になる。タイトル図の下の式はそれを逆から書いていったもの。n=3なら 5 + 3 + 1ということになる。その２つの式を足し算すると、最初の部分同士を足すと、1 + 5 なので６，次は3+3なので６、そして次は5 + 1なのでやはり６となる！全部６だ。それが３つあるので、Sの２倍の数は　6 x 3　となる。よって、Sは9ということになり、これは 3^2(３の２乗）なので平方数になっている。

一般的に書くと奇数の個数をnとすると上の式と下の式の同じ部分（項）同士を足すと 2n となる。これがn個があるので、Sの２倍の数は 2n x n = 2 n^2 と書ける。よって、S自体は n^2 となり、平方数になる。確かめてみよう。n=3のときは上下足すと2n なので6 , これがn個、つまり3個あるので 18 になり、Ｓ自体はその半分なので9、９＝3^2 で平方数。n=5のとき。上下足すと10, これが5個あるので50, その半分がＳなので S = 25 = 5^2 となり平方数になっている。

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