わかれば瞬殺、答えを見れば一目瞭然

　５問、用意しました。

【1】（トーナメントの試合数）
　8チームがトーナメント戦を戦うとき、通常は図１のような形になります。７チームがトーナメント戦を戦うときは、図２のような形になります。シードされるチームがあったりする場合は、図３のような形になることもあるでしょう。
　さて、100チームがトーナメント戦を戦うとき、試合数は全部で何試合ありますか？

【2】（友達100人できるかな？）
　フェイスブックの友達は１人から始まって、だんだん増えていきます。いま私の友達は169人。ついこの前まで168人だったわけで、そのうち170人になるでしょう。
　ところで、友達の数は偶数か奇数かのどちらかです。当たり前ですが、そういうことです。
　さて、フェイスブックのユーザーの中で「友達の数が奇数のユーザー」の数は偶数でしょうか、それとも奇数でしょうか？

【3】（一筆書きの条件）
(1)　まず、下の図１～図５が一筆書きで書けるかどうかを判定してください。
(2)　ある図形が一筆書きで書けるか書けないかを簡単に判別する方法を編み出してください。

【4】（タイルの貼り方）
４×４マスの正方形の２カ所に × 印がついています。× 印がついていないマスを１×２の長方形のマスで埋めたい。長方形のマスは縦・横どちらの向きに置いてもよい。ただし、長方形のマスが重なったり、４×４の正方形からはみ出したりしてはダメです。
(1)　図１と図２において、長方形のマスで埋められるか埋められないかを判定してください。
(2)　４×４のマスのどの２カ所に×印をつける場合は長方形のマスで埋められて、どの２カ所に×印をつける場合は長方形のマスで埋められないかを説明してください。

【5】（三角形の内角の和）
　　(1)　三角形の３つの角の和は何度ですか？
　　(2)　どんな三角形でもそうなることを説明してください。

　なかなか思いつかないものもあるでしょうけれど、「わかれば瞬殺、答えを見れば一目瞭然」みたいなものを選んだつもりです。
　コンピュータは（私たちが手順を教えてやらなければ）力技でしらみつぶしにやろうとするでしょう。けれども私たちはそんなつまらないことはしませんよね。コンピュータより、そしてもちろん人工知能より、私たちの方がずっと賢いのです。

　それでは《解説・解答》といきましょう。

トーナメントの試合数

【1】100チームがトーナメント戦を戦うとき、試合数は全部で何試合ありますか？

　100チームのうち１回も負けなかったチームが優勝して、他のチームはいずれも１回ずつ負けます。そして「１試合ごとに１チームずつ負ける」のですから、試合数は 「100－1＝ 99 試合」

　一般に 「トーナメント戦の試合数＝チーム数－1」 です。

友達100人できるかな？

【2】フェイスブックのユーザーの中で「友達の数が奇数のユーザー」の数は偶数でしょうか、それとも奇数でしょうか？

　まずフェイスブックでの友達になり方を確認しましょう。ある人が他の人に友達になることを「申請」して、相手がそれを「承認」したら友達になります。つまりフェイスブックの友達関係は常に双方向（両想い）なんですね。一方通行（片思い、もしくはストーカー）的な友達関係はありません。ということは、全ユーザーの友達の人数の合計は必ず「偶数」になるということです。・・・(1)
　ところで、各ユーザーの友達の数は偶数か奇数のどちらかですね。当たり前ですが。
　このうち「友達の数が偶数のユーザー」全員の友達の人数の合計は「偶数」ですね。「友達の数が偶数のユーザー」の数が偶数だろうと奇数だろうと、その合計は必ず「偶数」になります。・・・(2)
　ということは、(1)と(2)より「友達の数が奇数のユーザー」全員の友達の人数の合計は「偶数」でならなければならないことになります。・・・(3)
　ところが「友達の数が奇数のユーザー」の数が「奇数」だとすると(3)になりませんね。「奇数を奇数個足すと奇数になる」からです。これは矛盾です。
　というわけで「友達の数が奇数のユーザー」の数は「偶数」だとわかります。実際「奇数を偶数個足すと、偶数」になりますね。

一筆書きの条件

【3】(1)　まず、下の図１～図５が一筆書きで書けるかどうかを判定してください。
(2)　ある図形が一筆書きで書けるか書けないかを簡単に判別する方法を編み出してください。

　(1) の答えは順に、○　×　○　○　×　です。
　図１はどこから始めても一筆書きできます。図３は二等辺三角形の底角の部分、２カ所のうち片方からスタートすれば、もう片方でゴールします。図４は右下か左下、そのどちらかからスタートすれば、反対側でゴールします。
　図２と図５はどうやっても一筆書きできません。

　(2) に行く前に、「ところで、一筆書きって何だっけ？」を確認しましょう。それは、

ある点から線を書き始めて、ペンを紙から離すことなく、つながった１本の線で書くこと。なお、同じ線を２回通ってはならないが、交差してもよい。

・・・こんなんでどうでしょ。(2) の答えは、

　奇数本の線が出ている頂点が２つ以下なら一筆書きできるが、奇数本の線が出ている頂点が３つ以上あると一筆書きできない。
　奇数本の線が出ている頂点が２つの場合、その片方の頂点からスタートすれば、後は任意のルートを通って、もう片方の頂点でゴールする。

　これがわかれば、図６のようにやや複雑な図形でも、一筆書きできるかできないかすぐにわかりますね。

タイルの貼り方

【4】(1)　図１と図２において、１×２の長方形のマスで埋められるか埋められないかを判定してください。
(2)　４×４のマスのどの２カ所に×印をつける場合は長方形のマスで埋められて、どの２カ所に×印をつける場合は長方形のマスで埋められないかを説明してください。

(1)　図１はできます。長方形の置き方は何通りかあります。
　　図２はできません。どうやってもできないものはできません。
　　さて、なぜでしょうか？

(2)　その訳は、上図を見れば一目瞭然ではないでしょうか。
　１×２の長方形を置くと、グレーのマスと白のマスを１つずつ埋めます。もともとグレーのマスと白のマスは同じ数（８つずつ）ですから、グレーのマス２つに×をつけたり、白のマス２つに×をつけた場合はどう頑張っても正方形全体を埋めることは出来ません。一方、グレーのマス１つと白のマス１つに×をつけた場合は、正方形全体を埋めることができます。
　図１は右図でいうとグレーのマス１つと白のマス１つに×がついていますから埋められて、図２はグレーのマス２つに×がついていますから埋められないわけです。
　思い付くかと言われると難しそうですが、言われてみれば単純でしょ。

三角形の内角の和

【5】(1)　三角形の３つの角の和は何度ですか？
　　(2)　どんな三角形でもそうなることを説明してください。

　(1) は小学生でもわかるでしょう。そう、180°です。円周の半分、もしくは角が一直線になるときの角度、それが180°です。

　では (2) はどうでしょうか。どんな三角形でも「３つの角の和が180°」であることをどうやったら説明できるでしょうか。
　では、満を持していきましょう。

　上図を見れば一目瞭然ですね。

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〜 考えるための数学問題集 〜
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