OMC170(E)のユーザー解説を，書きたい！

こんにちはこんばんはおじゃめしです．今回は OMC170(E) の自分の解き方を共有したいな～ということで共有していこうと思います．

OMC170 の小噺

今回のコンテストは pomodor_ap さんとの共同コンテストでした！トマトと飯の組み合わせだったので，自分たちは「トマト飯杯」という名称を考えていましたが，一部の人からは「リゾット杯」とか「ドリア杯」とか「ぽもめし杯」とか呼ばれてましたね．これはマジでどうでもいい情報ですが，僕の母はサイゼリヤで毎回ミラノ風ドリアを食べます．ちなみに僕はサイゼリヤで毎回ペペロンチーノを頼みます．マジでどうでもいいですね．さっさとユーザー解説を済ませようと思います．

OMC170(E)非公式ユーザー解説（口調変わるの許して～）

辺$${BC}$$の中点を $${M}$$，劣弧 $${AB, BC, CA}$$ の中点を $${M_C, M_A, M_B}$$ とする．$${BH=HI}$$ であるから，この構図において $${H=BC \cap M_CM_A}$$である（典型構図？）．また，$${F=M_AM_B\cap BC}$$ とする．

いま，議論を始めるにあたって，辺の長さを以下のように設定しておく．

$${AI=x}$$
$${ID =1}$$
$${BH=HI = y}$$
$${CF = FI = z}$$
$${BC =41k}$$

とりあえず，表せそうなところを表していこう．$${\triangle{IHE} \sim \triangle{ABE}}$$ なので，$${HE=y/x}$$ 同様な理由から $${z/x}$$ である．角の二等分線のアレより

$${yz-\dfrac{y}{x}\cdot \dfrac{z}{x}=1 \Longrightarrow yz =\dfrac{x^2}{x^2-1}}$$

を得る．また，方べきの定理から

$${AE\times EM_A = BE \times CE \Longrightarrow EM_A = \dfrac{1}{x-1} }$$

である．ここで，$${DM=\dfrac{9k}{2}}$$ であり，$${\triangle{IDE} \sim \triangle{M_AEM}}$$ だから $${DE = \dfrac{9(x-1)k}{2x} }$$ である．これより，

$${\Bigl(1+\dfrac{1}{x}\Bigl)y = BE = \Bigl(16+\dfrac{9(x-1)}{2x}\Bigl)k}$$

$${\Bigl(1+\dfrac{1}{x}\Bigl)z = CE = \Bigl(25-\dfrac{9(x-1)}{2x}\Bigl)k }$$

であるから，$${y, z}$$ について解けば，

$${y = \dfrac{x}{x+1}\Bigl(16+\dfrac{9(x-1)}{2x}\Bigl)k }$$

$${z = \dfrac{x}{x+1}\Bigl(25-\dfrac{9(x-1)}{2x}\Bigl)k }$$

である．

ここで注目してほしいのが，$${B, H, D, E, M, F, C}$$ のいずれかの2点間の距離が「（$${x}$$ に関する式）$${\times k}$$ 」という形で表されるということである．つまり，比を取ってしまえば $${k}$$ が消えて $${x}$$ だけの式になる！いま，$${AE:EI = (x+1):1 }$$ であるから，$${\triangle{AHE} \sim \triangle{IDE}}$$ に注目すれば，$${x}$$ に関する制約が出せるはずである！という気持ちになる．ということで（場合によっては体育会系な計算になることを覚悟して） $${HE:DE=AE:IE}$$ について整理すると，いい感じに文字が整理されて，$${9x^2+9x-50=0}$$ を得られる．やったー！！！

ここまでくれば，ウィニングラン（ただし油断大敵）．求める多項式は $${\dfrac{IE}{AE}=\dfrac{1}{x+1}}$$ を解に持つものである．これはさっきの式を次のように変形することで得られる．

$${9x^2+9x-50=0}$$
$${\longrightarrow 9(x+1)^2 - 9(x+1) -50 = 0}$$
$${\longrightarrow 9 - \dfrac{9}{x+1} -\dfrac{50}{(x+1)^2}=0}$$

一次式だとァなので，求める多項式は $${P(t)=t^2 +\dfrac{9}{50}t-\dfrac{9}{50}}$$ であり，特に解答すべき値は $${\textbf{1000179}}$$ である．

感想

方針が見えずらい感じがしました（とりあえず手を動かしてみるか～という感じで動かしていたら，いつの間にかうまいこといってしまったという何とも言えない解き方をしてしまいました）．OMC のサイトにもいろんな解き方があり，勉強になりました．

現時点で暖色に達していないので，あえなく非公式ユーザー解説を Note に上げたのですが，いつか OMC 上でもこのユーザー解説を上げてみたいですね．強くなれる理由を知りました（僕を～ 連れて～ 進め～）．

ではでは．