三次元極座標(球座標)ラプラシアン表式の直観的な導出方法

イントロラプラシアンは物理を学ぶ際に最も重要な線形作用素のひとつです。

ラプラシアンとは一体何なのか。おそらく最も初等的には、3次元直交座標 (x, y, z) を設定した上で

と定義します。

例えば (x, y, z) の関数

には

というように作用します。これを計算するのは面倒ですが、地道に計算すればできるでしょう。

ところが、物理ではしばしば系が球対称な状況を考えます。その場合、