場合の数は、いかに問題を得意の形に置き換えるか

2月1日を含むこの週、塾はお休みだった。そして週末は母子で1泊の旅行に行っている。6年生コースが始まる直前のつかの間の休息といったところか。父は留守番して、場合の数に向き合っているが、小学生時代の嫌な思い出が甦ってきた。子供の頃から算数が得意だったのだが、場合の数に戸惑った記憶がある。m個の中からn個選ぶ組み合わせは何通り、というような形式の問題だが、計算ではなく説明文の読解力を問われているようで、本当に苦手だった。
息子も同じく、のようで全然分かってないようだ。塾では教えてないようだが、m個の中からn個選ぶ組み合わせの数を出す式を教えてあげた。確か高校で習う式。例えば、6個の中から4個選ぶ方法は、以下のような計算式で15通り、と導き出せる。

6個の中から4個選ぶのは、15通り

この考え方、つまりm個の中からn個選ぶには、という考えに置き換えれば、中学受験の大抵の問題は解けそうだ。

例えば、以下の問題。

赤玉2個、白玉2個を1列に並べる並べ方は？

この場合は1列に並んだ4つの赤玉のうち2つを選んで白く塗る、と考えればよい。答えは4C2=6 通り。

次は少し複雑になった問題。

赤玉1個、白玉2個、青玉3個を1列に並べる並べ方は？

この場合は次のように順番に考える

1. まず、青玉6個が1列に並んでいる、と考える。この中から1つ取り出して、赤く塗るとする。

2. 残りの青玉5個の中から2つ選んで白く塗る。5個から2個選ぶのだから、
   5C2=10通り。

3. 青と白に塗られた5個の玉の列に赤玉を入れる。どこに入れるかは6通りだから、並べ方は 10x6 = 60 通り。

道順の問題も [m個の中からn個選ぶ]  に置き換えることができれば、簡単に解ける。

縦6マス、横4マスの格子状の道がある。左下から右上まで遠回りせずに行く方法は何通り？

息子によれば、塾では格子の点のところに行く方法を順番に足していく解法を習ったそうだ。

この方法は確かに視覚的にわかりやすく、簡単な計算を繰り返せば答えに辿り着く。でも小学生男子が丁寧に小さく数字を書いて足していけるかな。少なくともうちの息子は無理だ。

この道順の問題も、[m個の中からn個選ぶ] に変換できる。
上の問題の場合、右向きに4回、上向きに6回進む。矢印で書くと、
→→→→↑↑↑↑↑↑
これは下の図（って手書きを撮影したものだけど）のように考えることができる。

10個の中から4個選ぶ、と考えることができる

道順の問題には道が立体（？）になっているものもある。

この場合も恐るるに足らず。
6つの⚪︎に　右、右、右、上、上、奥　を入れる並べ方は？と同じ。
赤玉1個、白玉2個、青玉3個と同じように計算すればOK。

場合の数、わかってくると楽しいかも。