公理・定義・定理 を解説してみる

こんにちは、現役大学生のまゆげです。論理学で用いられる言葉である公理・定義・定理の意味を解説してみたいと思います。

公理とは

他の二つに比べるとあまり馴染みがないかもしれないこの言葉。論理学や数学における「真理」は、すでに分かっている・認められていることから新たな結論を得ることで積み重なっています。この議論の方法を演繹（えんえき）法と言います。前提があって結論がある、という形になっています。

しかしながら、ある真理に対してどこまででも前提を遡ることが可能でしょうか？無限に遡ることはできず、どこかで証明はできないが真理として認めるものが現れます。具体的には

・PならばQ が真ならその対偶 QでないならばPでない も真である
・異なる 2 点 A,B に対してそれらを通る直線 l がただひとつ存在する

などが挙げられます（別のことがらを公理とすればこれらは定理になりうることもあります）。大雑把に言えば「話を進めるための大前提」です。いかなる論理的な議論もいくつかのことを自明の真理として認めないと次に進めないのです。

定義とは

　次に定義の意味を確認しましょう。定義は普遍的な言葉でもあり「言葉の意味を正確に定める」こととして使われます。論理学・数学においても同じで、曖昧さのない方法で何かを約束することを意味します。約束事ですから定義は証明することができません。例を見てみましょう。

・自然数は 0 より大きい（または 0 以上の）整数と定義された数です。
・二乗すると 2 になるような実数を 2 の平方根と定義し、それらのうち正のものを √2 と表すことにします。
・ x が実数で、 x≠0 ならば x⁰=1 と定義します。

　このように、言葉や概念を曖昧さが無いように（=解釈がひとつに定まるように）取り決めることを定義するといいます。繰り返しますが定義は証明することができません。（ただし、そう定義される合理的な理由は説明できるかもしれません。 x⁰=1 とすることで指数法則がそのまま使えるから、といった風に。）

定理とは

　最後に定理の意味です。定理は、いくつかの事実から論理にもとづいて導かれた真理のことを指します。定理は証明することができます。逆に言えばしっかりと証明可能な事実のことを定理と呼ぶのです。

　多くの人が知っている定理といえば三平方の定理でしょうか。三平方の定理とは

直角三角形の斜辺の長さを c とし他の二辺の長さを a, b としたときに a²+b²=c²  が成り立つ。

という定理です。この式も当然証明が可能です。定理、すなわち新たな事実を発見することが論理学のゴールと言えるでしょう。

まとめ

　論理的な議論は、まず大前提である公理を真理として認めて、議論の対象を正確な言葉で定義して、論理にしたがって定理を導くことで成り立ちます。