確率と余事象

アクセスありがとうございます。
今回は確率と感覚についてです。

人の感覚と確率は案外ずれているものです。
モンティ・ホール問題や誕生日のパラドックスなどが有名ですね。

これらは確率を単純な足し算（引き算）で考えてしまいがちだからです。
事前確率と事後確率の錯誤が原因と考えられます。

身近な例～サイコロ

よくある例は、6面サイコロ（どの目も出る確率は1/6とします）
を6回振れば1の目が最低1回は出てくるだろうといったパターン。

1の目が出る確率が1/6なのだから、6回振れば
1/6×6=1（100%）になるだろうという考え方になります。

でも、実際にサイコロを6回振っても
1が一度も出てこない場合がありますよね。

サイコロを6回振って1が少なくとも1回出る確率Aは
サイコロを6回振って1が一度も出てこない確率Bの逆
と言い換えることができます。余事象の考えです。

つまり、サイコロを6回振って1が一度も出てこない確率Bを先に計算して
それを1から引けばAを求めることができます。
A+B=1が成り立つため、A=1-Bも成り立つわけですね。

実際に計算してみます。
確率Bは1以外の目（2～6）が6回連続で出てくる確率と
言い換えることができます。

よって
B=(1-1/6)^6
 =(5/6)^6
 =15625/46656
 ≒33.5%

したがって
A=1-B
 =1-33.5%
 =66.5%

6面サイコロを6回振って1が最低でも1回出る確率は66.5%となります。

---

計算式を一般化する

この例を一般化すると、
「確率1/nで起こる事象をn回行うと発生する確率」
ということができます。
これを確率Pとします。

先の計算から、確率Pは

P=1-(1-1/n)^n

となります。

---

例：1/100のURキャラを100連で1枚引ける確率

ソシャゲとかでよくあるパターンですね。

実際に計算してみましょう。
n=100を代入すればよいので

P=1-(1-1/100)^100
 =1-(99/100)^100
 ≒63.4%

となります。

---

この式の特徴

先程の6面サイコロは65.5%、
100連ガチャは63.4%と
確率がさほど変わらないように感じます。

これはこの式が指数関数であり、
あるところで収束するためです。
グラフで表すと下のようになります。

確率Pのグラフ
右軸は指数目盛で表示

n=2の時が最大でP=75%となります。
身近な例では「コインを2回投げて表が少なくとも1度出る確率」
が上げられます。

nが少ない方がPが高く、
増える毎に確率が下がってきます。
n=10の次点で65.1%です。

ただ、指数関数の特徴としてnが増える
とPの下がる度合いがだんだんと減ってきます。
n=100以降はほぼ横ばいとなっています。

このグラフはP=63.2%でおおよそ収束します。
つまり、どんなにnを増やしても63.2%以下になりません。

人の感覚として、
63.2%という数字はある一定のラインとなるかもしれませんね。

この数字が信頼できるか否かは状況によるでしょう。
当たるリターンと外すリスクを照らし合わせて判断する形となります。

また、上であげた例はすべてが独立事象であることと、
少なくとも1度起こる確率であり、
複数回起こる確率はこの式では求められないことにご注意を。

今回のはこの辺で。