流体力学 ポテンシャル流れの合成
皆様おはこんばんちは。そして，お疲れ様です。
最近，流体力学を再度学び直してみようと思い，記事にしています。
第１６回目は，第１５回目で予告した通り，「ポテンシャル流れの合成」について紹介していきます。
（１）ポテンシャル流れの合成
さて，今後の記事で取り上げる予定の「合成」についてですが，基になる理論として「重ね合わせ」があります。この「重ね合わせ」は物理学ではよく使われます。そのため，使われる頻度が高いために，重ね合わせが使えて「当たり前でしょ？」と思われるものになっているかと筆者は考えています。しかし，今回はこれが当たり前ではないのことを紹介し，結論としてポテンシャル流れでは「重ね合わせ」が利用できるため，流れを「合成」できるのことを書いていきます。
では，結論から述べましょう。適当な複素ポテンシャルw1(z)とw2(z)を用意したとき，式（１）のように表せます。
但し，φは速度ポテンシャル，ψは流れ関数をそれぞれ示します。
（２）重ね合わせ
（２－１）成立条件
では，先ほどのキーワードである「重ね合わせ」ができれば，「合成」ができることを書きました。物理学でよく使われる「重ね合わせ」ですが，共通して使える考え方は，以下の通りです。
「重ね合わせ」ができるものは，取り扱うものがすべて「線形」のみである！
これが結論です。ここでは，「線形」を知るためには，「非線形」の存在を知る必要があります。両者の関係は，いわゆる対義語なのです。以下に両者の説明をざっくり書きます。
「線形」は，時間が経過するにつれてグラフの形が変わらないものを指します。例えば，初等関数として挙げられる「１次関数」，「2次関数」や「三角関数」などがこれに該当します。
一方で，「非線形」は，時間が経過するにつれてグラフの形が変わるものを指します。研究や講義等の実験で測定した結果を見てみても，多くの現象がこのような「非線形」が大半を占めますが，現象を簡単にするため（専門的には，モデル化するなどという）に，時間変化を考えないことが多いのです。ちなみに流体力学では，線形のときを「定常流れ」，非線形のときを「非定常流れ」といいます。
よって，ポテンシャル流れの「重ね合わせ」ができるということは，「線形」であることが証明できること（数学的には，満足していることと書かれる）が必要です。では，ここで，ポテンシャル流れに登場するものを思い出しましょう。用語すら聞いたことがない方は，以前の記事をご覧ください。
（２－２）速度ポテンシャル
ポテンシャル流れで登場するものは，速度ポテンシャルφ，流れ関数ψの２つです。この２つが「線形」であることが証明できれば良い訳です。では，この証明をしてみましょう。
まずは，速度ポテンシャルの証明からです。noteではまだ解説していませんが，微小流体要素を考えたときに使う考え方の１つに「連続方程式」，通称「連続の式」というものがあります。ここで，時間変化しない流れの「定常流れ」，流体の密度が変化しない「非圧縮性流体」，かつ「2次元流れ」であると仮定するときは，式（２）のように表せます。
ここで，式（３）にコーシー・リーマンの微分方程式を示します。
では，式（３）を式（２）へ代入すると，式（４）のように表せます。
この式（４）がいわゆる「ラプラス方程式」と呼ばれるものです。見て頂ければわかる通り，時間変化による項が存在しないため，速度ポテンシャルφは，ラプラス方程式を満足していることから，「線形」であるために「重ね合わせ」が適用できるのです。メタな話をすれば，「連続の式」の仮定で「定常流れ」としている時点で「線形」となることが確約されているのですが…。
（２－３）流れ関数
次に，流れ関数の証明です。以前の記事で取り扱った「渦度」の考え方を使います。連続の式と同様に，時間変化しない流れの「定常流れ」，流体の密度が変化しない「非圧縮性流体」かつ「渦無し流れ」を考慮すると，渦度ζzは，式（５）のように表せます。
では，速度ポテンシャルと同様に，式（３）を式（５）へ代入すると，式（６）のように表せます。
よって，式（６）も式（４）と同様に「ラプラス方程式」を示しています。そして，時間変化による項が存在しないため，流れ関数ψは，ラプラス方程式を満足していることから，「線形」であるために「重ね合わせ」が適用できるのです。これらは，すべて過去の記事で紹介したものが集約されています。今回扱ったもので不明なものについては，過去の記事をご覧ください。
（３）まとめ
今回の記事のまとめを以下に示します。
（１）「重ね合わせ」が利用できれば，複素ポテンシャルの「合成」が可能になる。
（２）「重ね合わせ」の共通の考え方は，「線形」であれば「重ね合わせ」が利用できる。
（３）速度ポテンシャルと流れ関数は，いずれもラプラス方程式を満足していることから「線形」が成立するため，ポテンシャル流れは複数の複素ポテンシャルを組み合わせた「重ね合わせ」が可能である。
以上です。最後まで閲覧頂きありがとうございました。
※次回は，一様流れとわき出しの合成について扱う予定です。
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