流体力学　一様流れ

　皆様おはこんばんちは。そして，お疲れ様です。

　最近，流体力学を再度学び直してみようと思い，記事にしています。
　第１０回目は，第７回目でネタにした「複素ポテンシャル」を使って「流れの様子」をかいていきたいと思います。今回は特に「一様流れ」について紹介していきます。

（１）流れの様子を記述する

　これまで，速度ポテンシャルや流れ関数，２次元ポテンシャル流れ及び複素ポテンシャルと流れの様子を記述するための準備をしました。では，早速ではありますが，流れの記述をできるようにしてみましょう。使う式は，以下の式（１）～式（４）を使います。

　ここで，式（１）は複素数z，式（２）は複素関数w(z)，式（３）及び式（４）はコーシー・リーマンの微分方程式をそれぞれ示しています。これらをメイン使います。出てきた用語や式がよくわからない方は以下の記事を見直してください。

（２）一様流れ（x軸方向流れ）

　では，早速ではありますが，以下の例題を考えてましょう。
【例題１】u=U，v=0　u, v：2次元流れのx, y方向の速度
　これを前項通り，コーシー・リーマンの微分方程式に当てはめると，式（５）のように表せます。

　では，式（５）で表した速度ポテンシャルφと流れ関数ψをそれぞれ積分すると，式（６）のように表せます。

　式（６）が分かると，速度ポテンシャルφと流れ関数ψの等ポテンシャル線と流線が描けるようになります。図１にx軸方向流れを示します。

図１　x軸方向流れ

　ポイントは，等ポテンシャル線（点線）がx軸に対して垂直に描けるに対し，流線（実線）がx軸に対して平行に描けることです！
　x軸方向流れが実現される一様流れの複素ポテンシャルw(z)は，式（７）のように表せます。

　また，共役複素速度dw(z)/dzは，式（８）のように表せます。

　式（８）をみると，x軸方向に速度Uが流れていることが確認できます。

（３）一様流れ（y軸方向流れ）

　では，前項で扱ったx軸方向流れからy軸方向流れに変わった場合，以下の例題を考えてましょう。
【例題２】u=0，v=V　u, v：2次元流れのx, y方向の速度
　これを前項通り，コーシー・リーマンの微分方程式に当てはめると，式（９）のように表せます。

　では，式（９）で表した速度ポテンシャルφと流れ関数ψをそれぞれ積分すると，式（１０）のように表せます。

　式（１０）が分かると，速度ポテンシャルφと流れ関数ψの等ポテンシャル線と流線が描けるようになります。図２にｙ軸方向流れを示します。

図２　y軸方向流れ

　ポイントは，流線（実線）がx軸に対して垂直に描けるに対し，等ポテンシャル線（点線）がx軸に対して平行に描けることです！
　ｙ軸方向流れが実現される一様流れの複素ポテンシャルw(z)は，式（１１）のように表せます。

　また，共役複素速度dw(z)/dzは，式（１２）のように表せます。

　式（１２）をみると，ｙ軸方向に速度Ｖが流れていることが確認できます。

（４）一様流れ（x, y軸方向流れ）

　では，前項で扱ったx軸方向流れ，y軸方向流れですが，両方（x, y）の軸方向から流れる場合，以下の例題を考えてましょう。
【例題３】u=U，v=V　u, v：2次元流れのx, y方向の速度
　これを前項通り，コーシー・リーマンの微分方程式に当てはめると，式（１３）のように表せます。

　では，式（１３）で表した速度ポテンシャルφと流れ関数ψをそれぞれ積分すると，式（１４）のように表せます。

　式（１４）が分かると，速度ポテンシャルφと流れ関数ψの等ポテンシャル線と流線が描けるようになります。図３にx，ｙ軸方向流れを示します。

図３　ｘ，y軸方向流れ

　ポイントは，流線（実線）がx軸に対して４５°のなす角で描けるに対し，等ポテンシャル線（点線）がx軸に対して１３５°のなす角で描けることです！
　ｘ，ｙ軸方向流れが実現される一様流れの複素ポテンシャルw(z)は，式（１５）のように表せます。

　また，共役複素速度dw(z)/dzは，式（１６）のように表せます。

　式（１３）をみると，x軸方向に速度U，ｙ軸方向に速度Ｖが流れていることから，図３のように合成速度qで流れていることが確認できます。

（５）まとめ

　今回の記事のまとめを以下に示します。
（１）流れの様子を記述するには，複素数z，複素関数w(z)，コーシー・リーマンの微分方程式が必要になる。

（２）等ポテンシャル線と流線の交点から流体粒子が表され，共役複素速度で得られた速度から，粒子がどのように流れるかの様子が分かる。

（３）一様流れは，主にx，y軸を平行に流れる様子を主に描ける。

　以上です。最後まで閲覧頂きありがとうございました。

　※次回は，一様流れのグラフを扱う予定です。

改訂1（2022/03/07）
（4）一様流れ（x, y軸方向流れ）
→「図３のグラフ変更」（速度ポテンシャルと流れ関数の反転）