流体力学　速度ポテンシャル

　皆様おはこんばんちは。そして，お疲れ様です。

　最近，流体力学を再度学び直してみようと思い，記事にしています。
　今回は第２回目ということで，前回お話しした通りの「理想流体」の続きを記事にしていきたいと思います。

（１）2次元流れを数式化するには

　今回は「速度ポテンシャル」を扱いたいと思います。ここでも，2次元流れで扱っていくのですが，これを数式化するにどうすればよいのでしょうか?

　図１に示すように，流体粒子を２次元平面で考えたとき，動く前の位置と何らかの力（例えば、外力、圧力や速度など）によって，流体粒子はよくわからないけど，どこかに移動した，つまり動いた後の位置の2点が数学的に記述できれば良いことになります。

図１　２次元平面における流体粒子の運動の様子

　さて、動く前の流体粒子は、2変数関数の一般的な書き方（例えば、z=f(x,y)）で問題ありませんが、ここで問題になるのは動いた後の流体粒子の数学的な記述です。

　ここでは、大学数学を使いましょう！「全微分」の考え方です。

　数学的な定義はここでは省きますが、要するに、図２に示すように，曲率をもつ平面であっても、微小平面（平行四辺形をよく使う）を考えれば、2変数関数のｘ，ｙについてそれぞれ微分したものの和が「全微分」であり，動いた後の流体粒子の様子を数学的に記述できるものになります。

図２　全微分の考え方

（２）速度ポテンシャルを求めてみる

　では，全微分を使って２次元流れを立式してみましょう。前回同様に，非圧縮性2次元流れの中に直交座標ｘ，ｙをとり，任意の1点のｘ，ｙ方向の速度成分をそれぞれu，ｖと設定し，ｘ，ｙのある関数φとしたときの全微分は，式（１）で表される。

　一方，関数φの全微分は，式（２）で表される。

　式（１）と式（２）を比較すると，式（３）のように表される。

　ここで，関数φの第2次偏導関数の関係は式（４）で表される。

　よって，式（４）の関係を式（３）に代入すると，式（５）のように表される。

　実は，式（５）の公式は，前回の「渦流れと渦無し流れ」で取り上げた渦無し流れの条件式と同一であることが分かりました！

　したがって，渦無しの２次元流れについては，任意点におけるｘ，ｙ軸方向の速度成分をそれぞれu，vとすれば，式（３）を満足するｘ，ｙの関数φ(x, y)が必ず存在することになります。

　つまり，渦運動がなくとも流体粒子が「もともと速度成分を持っている（ポテンシャル）」ものは必ず存在するということで，φを速度ポテンシャルといいます。

　また，速度ポテンシャルφはスカラー量（方向を持たない，ただの大きさ）であり，流体の運動の様子を知ることができ，特にφ=const.（一定値）で表される線を等ポテンシャル線といいます。

（３）速度ポテンシャルの物理的意味

　ここで，速度ポテンシャルの存在条件や渦無し流れと同一の式でかけることがわかっていただけたかと思います。
　でも，速度をもつということは，粒子の速度が変化しているからで，速度ポテンシャルが「全微分」で立式できたことと何か関係があるのと思うのでは？
　ここでは，その疑問を解決するために，以下のような設定を考えてみましょう。

　まず，速度qの流体要素内の一点より，任意の方向に線素ds(dx, dy)をとる状況を図３に示すように考えます。

図3　流体要素の速度成分q，qs

　ここで，速度qと線素dsの方向の速度成分qs=ACを考えると，図４に示すようになります。

図４　速度qsに対する補助線を引いた後

　以上のような設定を考えると，速度qsは，式（６）のように表される。

　ここで，渦無し流れでは，前項の式（３）が成立するので，式（６）へ代入すると，式（７）が表される。

　式（７）がかけたことで分かることは，任意の方向における速度qsは，その方向におけるφの増加割合∂φ/∂ｓに等しくなることが分かります。

　つまり，古典力学で見たことのあるような形になり，速度が変位の微分したものとなっていることが，速度ポテンシャルと呼ばれている理由だと言われています。

（４）まとめ

　今回の記事のまとめを以下に示します。
（１）全微分を使うことで，２次元流れを数式化できる。
（２）２次元流れの速度ポテンシャルは，流体粒子の運動の様子がわかり，渦無し流れの条件式と同一かつ速度ポテンシャルが必ず存在する。
（３）速度ポテンシャルは，古典力学と同様に速度を微分形式で書き表される。

　以上です。最後まで閲覧頂きありがとうございました。