流体力学　複素ポテンシャル

　皆様おはこんばんちは。そして，お疲れ様です。

　最近，流体力学を再度学び直してみようと思い，記事にしています。
　第7回目は，第５回目でネタにした「２次元ポテンシャル流れ」を拡大するための「複素ポテンシャル」についてかいていきたいと思います。

（１）２つの複素数を結びつける！

　では，「複素ポテンシャル」を説明するには，とある2つの複素数z，wをそれぞれ示すと，式（１）のように表せます。

　但し，φとψは速度ポテンシャルや流れ関数ではなく，ただの実関数の意味で扱うので注意すること（とはいえ，速度ポテンシャルも流れ関数もスカラー量なので，わざわざ記載する意味があるのかは不明…）。
　では，実関数wが複素関数w(z)となる場合を数式化すると，式（２）のように表せます。

　ここで，式（２）の必要十分条件が成立する場合は，コーシー・リーマンの微分方程式の式（３）が成立します。

　よって，式（１）に表したように，２次元流れの任意の点z(=x+iy)における速度ポテンシャルφと流れ関数ψは，zの複素関数w(z)(=φ+iψ)が考えることができます。
　この複素関数w(z)を「複素ポテンシャル」と流体力学ではいいます！

（２）複素ポテンシャルの書き方

　前項では，複素ポテンシャルはコーシー・リーマンの微分方程式が成立するときに成り立つことが分かりました。ここでは，その複素ポテンシャルの記述に注目しましょう。

　流れの点zにおける速度成分は式（３）で表せますが，複素数z=x+iyと実関数wと複素関数w(z)の関係より，合成関数の微分を使って，式（４）のように表せます。

　では，式（４）を用いると，２次元ポテンシャル流れの微分を書き表すと，式（５）のように表せます。

　よって，wをzについて微分することで速度成分u，vを知ることができ，u+ivは「複素速度」，u-ivは「共役複素速度」といいます！

　また，今回はいわゆる2次元流れ（x，y平面）をz平面で考えたときの流れの様子を知ることが目的でしたが，極座標（r，θ）へ座標変換した場合の速度成分は，式（６）のように表せます。

　したがって，複素関数w(z)で2次元流れの速度成分u，vを表現できることが分かりました。

（３）まとめ

　今回の記事のまとめを以下に示します。
（１）「C-R方程式」の必要十分条件が成立すれば，実関数から複素関数へ変換できるとともに，直交座標および極座標での2次元流れを表現できる。

　以上です。最後まで閲覧頂きありがとうございました。

　※今回は意外とさらっと進めてみましたが，ここで「あ～，そうなんだ」で終わってはもったいないものが2カ所あります。そこは，また後日扱うことにします！