数学コラム　第2回　つれづれなる素数の気付き

まっちゃんスターです。

当タイトルですが、個人的気付きなので話半分で流してください。

素数はご存知かと思います

1,2,3,5,7,9,11,...

のように、1以外は全て自分の数以外は割れない数。

では、数の成り立ちについて5考えましょう。

Aが成立する数が3通りのパターンを求めなさい

5分くらいにしましょうか。

正解は、1以外の素数の2乗が正解でした。

素数の定義とは1とそれ以外に約数をもたない数。つまり素数であれば、1とAあるいはAと1の2通りになります。これを念頭におきますと素数の2乗を考えます。

A^2=A×Aになりますが、

1,A×1、1×A,A^2になる。

A×1と1×Aは同値なので、Aとみなす。

Aは素数によりこれ以上数が作れないので、A以上の分解は不可。

より、3通りのパターンをもつ数の組み合わせは素数の2乗のみである。

余談:素数以外の数の証明はみんな飽きそう避けましたが、以下は飽きなかった人用。たとえば偶数を考えましょう。

今回2^2は素数の2乗なので含まれました。

たしかに1,2,4で成立します。では、2より大きい場合、たとえば4にします

2^2・(2)^2=2^4

1,2,4,8,16で3通り以上になります。

これは、2とそれ以外の素数の組み合わせの2乗により少なくとも素数および素数2乗の素数の組み合わせが追加で発生するので、5通り以上存在する

つまり、2以外は成立しない。奇数でも、

素数×2以上の元の素数以外の奇数の2乗

を考えると、21^2=3^2・7^2により、

最低5パターン以上は存在します。

2乗では素数の2乗以外は3パターンは成立せず。

2乗以外では、2でわれるもの、3でわれるものについては、

2の例:8→1,2,4,8

3の例:15→1,3,5,15

になる。これは、素数以外は、

1,分母の数、分子/分母の整数になった数、整数

の4パターンになるため、3パターンにならない。また、素数は1とそれ以外は成立しないので2パターン。1は1のみ

よって、

素数の2乗のみが3パターンになる

いかがでしたでしょうか？

とりあえず、徒然なるままに証明してみました。

入試ではおそらくでませんが、整数のエッセンスとしては面白い仕組みですね

ではまた( ͡° ͜ʖ ͡°)