数学エッセンス第６回　日比谷高校数学２０１９年問１

みなさま、まっちゃんスターです

さて、前回は灘といういきなりハードモードですいません。

灘より難しくはないと思いますが、独自問題を作成されている都立ということで、日比谷高校の問題を選びました

今回はどんくらいでいこうかなー＾＾　

問題多いから１０分くらいが妥当かしら？

というわけで１０分考えてみましょう！！

はい、いつもの通り解説していきます。

（１）の解説

今回から、解説ごとに頭の文字でかくすることにしました。

日を置いてみたらわかりにくっ、と思ったので汗

さて、こやつですが、

（３－１/√３）＾２

⇒３＾２－２×３/√３＋（－１/√３）＾２

⇒９－６/√３＋１/３から

答え：２８/３　－　２√３　※６/√３＝６√３/（√３）＾２＝６√３/３より

（２）の解説

ネタにならないぐらい（１）がすぐ終わりました

これは、簡単ですね。共通さがして終わりDAYO！

ということで、

A＝６－ｘ

こうしますと、（６－ｘ）＾２⇒A^２

９（ｘ－６）⇒ー９（６－ｘ）⇒ー９A

なので

A＾２－９A－９０

こんな式ができました。Aについてですが、

A＝（９±√８１＋３６０）/２⇒９±√４４１/２

√４４１＝√２１＾２＝２１なので、

A＝（９±２１/２）より

A＝１５、－６となる。

Aにいれる値なので、因数分解では符合がかわることを考慮し

（A－１５）（A＋６）

さて、もともとのA=６－ｘを戻しますと

（（６－１５）－ｘ）（（６＋６）－ｘ）

⇒（－ｘ－９）（－ｘ＋１２）

⇒ー（ｘ＋９）（－（ｘ－１２））

⇒（－１×ー１）（ｘ＋９）（ｘ－１２）

となる。よって答えは

答え：（ｘ＋９）（ｘ－１２）

（３）の解説

（２）はやや下ごしらえがだるいですが、案外あっけなく終わりました

中学生には難しい式の共通性探しで差がつくくらいでしょうか？

それは置いといて（３）にいきます

ふむ、代入やないかい（ミルクボーイ風ｗ）

といいますのも、すでに解にー１/２だよ言うてるので、

ｘにー１/２いれて求めてね言うてますよ

入れてみましょう

〇（－１/２）＾２－４×（－１/２）×aーa＾２＋１

⇒１/４＋２aーa＾２＋１

⇒ーa＾２＋２a＋５/４＝０

a＾２のマイナス先頭がややこしいので

a＾２－２aー５/４＝０

となります。

これからaは

a＝（２±√２＾２－４×（-５/４））/２

⇒（２±３）/２なので、

a＝５/２、－１/２

また問題文は

と記述されているので、a＞０より

答え：a＝５/２

（４）の解説

（３）も微妙に手間だけどあっけなくおわり、（４）いきましょう

特に戻さないので、パターンは９×８＝７２

まず全体がこれ、

では、今から、１枚目が１～９、２枚目が１枚目以外の数で６の倍数を出してみます

１枚目が１：６　※奇数および３の倍数ではないため

１枚目が２：　３、６、９※３の倍数が対象

１枚目が３：２，４，６，８　※２の倍数が対象

１枚目が４：３，６，９　※３の倍数が対象

１枚目が５：６　※奇数および３の倍数ではないため

１枚目が６：１，２，３，４，５，７，８，９※６以外

１枚目が７：６　※奇数および３の倍数ではないため

１枚目が８：３，６，９※３の倍数が対象

１枚目が９：２，４，６，８※２の倍数が対象

純粋に出した上記の数で対象の数を足しましょう

全量＝１＋３＋４＋３＋１＋８＋１＋３＋４＝２８

これより、確率は２８/7２となるので、約分して整理すると

答え：７/１８

（５）の解説

（４）は計算がめんどうなだけで問題自体は簡単でした

さて、次ですが、相似ですか。やりますか

最初にBDの点線の対角線を引きます

次にBDC’が90°になるように、ｃを設定

※C'はBCの延長線なので、∠DCC’＝９０°

次にDC’の延長上の点線を引く

AからC’Dの延長線上に垂線を下す。垂線の点はA’

AからBDに垂線を下す。垂線の点はB’

ADを対角線に持つ点線の長方形が登場した。

角度については、

∠AB’D=９０°

∠AA'D＝90°

∠A’DB’＝180－∠BDC’＝１８０－９０＝９０°

∠A'AB＝３６０－∠AB’Dー∠AA'Dー∠A’DB’＝９０°

なので、ABCDとAB’DA’は相似なので、正規に作図する部分はこの長方形のため答えは青で囲ったような部分が作図できてればよい

個人的な感想、計算がややめんどくさいだけで難易度は難関校のわりにはたいしたことなかった。問題は大したことないが、制限時間以内に解けるかで合否を左右するくらいですかね＾＾；

初の都立問題の解説でした♪

ではまたー😏