ダブルスの勝敗(数学的な考察)

こんばんは。

このまえ
数学科の先輩であり、テニス仲間？でもある教員から
突然呼び止められまして、こんなことを言われました。

「4人でこの前テニスをすることになって。
ダブルスで、ペアを組み換えて、試合を回していくことにしたのよ。
そのときにね、一人ずつの勝ち数が
２，２，１，１になることはありえないって思ったんだけど
感覚的に思っただけで
それを中学生にもわかりやすく説明するにはどうすれば良いかなと思って。
書き出せば、ありえないってことはわかるんだけど。
『〇〇だからそんな状況ありえないんだよ笑』って
言い切れる〇〇に入る言葉が欲しい！
宿題ね笑」

なるほど…

まず、起きた出来事から
数学的に何か題材を持ってこれるその姿勢に感動しつつ
内容自体も面白いなと思いながら
考えることに没頭しました。

まずテニスやらない人にも状況を分かりやすくお伝えしますと
A,B,C,Dさんでペアが被らないようにダブルスを回すとなると、試合は

AB　vs　CD
AC　vs　BD
AD　vs　BC

の3試合です。これで一巡することになります。

たとえば、

A・B　vs　C・D
〇  〇           ×  ×
A・C　vs　B・D
〇  〇           ×  ×
A・D　vs　B・C
〇  〇           ×  ×

このような状態だと、トータルで

Aは3勝1敗
Bは1勝2敗
Cは1勝2敗
Dは1勝2敗

このような結果になると。

で、先輩教員からの問いかけは

2勝1敗が2人、1勝2敗が2人はありえないのは何故か

というもの。

ちなみに4人で普通にシングルの試合を回すと

①　3勝0敗　
　　2勝1敗
　　1勝2敗
　　0勝3敗

②　3勝0敗　
　　1勝2敗
　　1勝2敗
　　1勝2敗

③　2勝1敗　
　　2勝1敗
　　2勝1敗
　　0勝3敗

④　2勝1敗　
　　2勝1敗
　　1勝2敗
　　1勝2敗

がありえます。

けれど、ダブルスをペアが被らないように組むとなると
①④は、とりえなくなる。

全体の勝ち数が6、負け数が6で等式が成り立ってるんだから
①④でも問題なさそうなのに、ありえなくなると…。

ということで、この理由について考察してみました。

まず①について。

①　3勝0敗　
　　2勝1敗
　　1勝2敗
　　0勝3敗

がありえないという理由。

これは簡単で、Aが仮に3勝しているならば
必ずBCDも1勝しているはずよね。

だってペアを組んで試合しているんだもの。

したがって、3勝0敗と0勝3敗が同時に存在することはありえない。

はい。問題は④のパターン。

④　2勝1敗　
　　2勝1敗
　　1勝2敗
　　1勝2敗

これです。

はい。ということで、この表が成り立たないことを説明します。

まずAに2つの〇をつけます。

そんなこんなで表的には
ありえないことが示せます。

④のパターンを作るためには
ペアをかぶせないと無理ってことですね。

が、この表の説明は簡単かと問われると
うーーーむ…
とならざるを得ない。

難しいですね。

誰かこれ簡単に説明できる人いたら
コメントで教えて下さい。

ということで、久々に数学の話でした。