n^3/3^nの収束

   最初の数学に関する投稿なので何から書くか迷ったのですが，受験期のノートの一番最初に書いてあった内容を書こうと思います．

   以下の数式の答えはなんだと思いますか?

  正解は0です．感覚的にはすぐわかる問題です．  

 私はこれを初めて解くときにロピタルの定理を使おうとしていました（笑）．

   ロピタルの定理は関数の不定形を求めるときに使うもので数列で使うとおかしなことになります．またnというのは数列の添字であり関数で言う独立変数はまた別物です．

    では上の数式はどう解くかというと不等式でうまいこと抑えれば解けます．具体的には3^nを二項定理で展開するのです．

    3^n = (1 + 2)^nですのでこれを展開し分子より1つ次数が多いところで切り上げれば 多項式/多項式 の極限となり分母の次数のほうが大きいので0に収束することがわかります．