高校数学をプログラミングで解く（数学A編）「3-10 N進法」
はじめに
今回は、数学Aで学ぶ「N進法」について、$${10}$$進法で表された数を$${N}$$進法で表すためのプログラムを作成します。
10進法の数をN進法に変換する
変換の例
$${10}$$進法の数を$${N}$$進法に変換する例として、「$${123}$$」を$${4}$$進法の数に変換することを考えてみます。答えは
$$
123 = 1323_{(4)}
$$
となります。
アルゴリズム設計「変換方法を考える」
$${10}$$進法の数を$${N}$$進法に変換する方法を考えるために、答えの表示方法を少し変えてみます。
$$
\begin{array}{}
123 = 1323_{(4)} &=& 3 \times 4^0+2 \times 4^1+3 \times 4^2 + 1 \times 4^3 \\
&=& 3+ 4 \times ( 2 \times 4^0+3 \times 4^1 + 1 \times 4^2 )
\end{array}
$$
この式から、$${4}$$進法で表したときの１桁目の数「$${3}$$」は、「$${123}$$」を「$${4}$$」で割ったときの余りとなっていることがわかります。さらに、「$${123}$$」を「$${4}$$」で割ったときの商は、
$$
2 \times 4^0+3 \times 4^1 + 1 \times 4^2
$$
となります。これを書き換えると、
$$
2 \times 4^0+3 \times 4^1 + 1 \times 4^2 = 2 + 4 \times ( 3 \times 4^0 + 1 \times 4^1 )
$$
となります。この式から、$${4}$$進法で表したときの2桁目の数「$${2}$$」は、商を「$${4}$$」で割ったときの余りとなっていることがわかります。
つまり、$${10}$$進法の数「$${123}$$」を$${4}$$進法で表す場合、「$${123}$$」を「$${4}$$」で割ったときの余り「$${3}$$」が1桁目の数となり、このときの商「$${30}$$」を「$${4}$$」で割ったときの余り「$${2}$$」が2桁目の数となり、さらに、このときの商「$${7}$$」を「$${4}$$」で割ったときの余り「$${3}$$」が3桁目の数となり、最後に、このときの商「$${1}$$」を「$${4}$$」で割ったときの余り「$${1}$$」が4桁目の数となります。最後の商は「$${0}$$」になるので、これ以上の桁はありません。これらをまとめると、$${1323_{(4)}}$$が得られます。
アルゴリズム設計「変換方法（一般化）」
上記で説明した変換方法を一般化してみます。
$${10}$$進法で表された整数を$${A}$$とし、$${A}$$を$${N}$$進法で表すことを考えます。結果として、
$$
A = {a_{n-1} \cdots a_1 a_0}_{(N)} = a_0 \times N^0 + a_1 \times N^1 + \cdots + a_{n-1} \times N^{n-1}
$$
という形で表すことができます。
① 割られる数を$${m}$$とし、割る数を$${N}$$とします。最初の段階では、$${m}$$に$${A}$$を代入します。
② $${m}$$を$${N}$$で割ったときの商$${q}$$と余り$${r}$$を計算し、余り$${r}$$を$${a_0}$$に代入します。
③ 商$${q}$$を$${m}$$に代入して、割られる数を更新します。
④ ②と③の処理（ただし、②の余り$${r}$$を代入する変数は$${a_1}$$、$${a_2}$$、$${\cdots}$$と繰り返すたびに指数が増えたものになります）を、$${q}$$が$${0}$$になるまで繰り返します。
プログラム
上記で解説した方法を利用して、10進法の数「$${123}$$」を4進法で表すプログラムを作成します。
// 10進数をN進数にする
void setup(){
int A = 123; // 10進数の数
int N = 4; // N進法
// AをN進数で表したときの各桁の数を格納する可変配列
ArrayList<Integer> a = new ArrayList<Integer>();
int q, r; // 商と余り
int m = A; // 割られる数を初期化
q = 1; // qを初期化
while( q > 0 ){
q = m/N; // 商
r = m%N; // 余り
a.add(r); // 余りを可変配列に追加
m = q; // 割られる数を更新
}
// AをN進数で表した時の数をコンソールに出力
for(int i=a.size()-1; i>=0; i--){
print(a.get(i));
}
}ソースコード1 10進数の数を$${N}$$進法で表すプログラム
ソースコード1を、Processingの開発環境ウィンドウを開いて（スケッチ名を「DecimalToN_ary」としています）、テキストエディタ部分に書いて実行すると、図1のように、コンソールに10進法の数「$${123}$$」を4進法で表したときの数「$${1323}$$」を出力します。
プログラムの解説「可変配列の利用」
整数をN進数で表した場合の各桁を$${a_0, a_1, \cdots, a_{n-1}}$$で表しました。このときの桁数$${n}$$を事前に求めることは手間がかかるので、プログラム（ソースコード1）では整数型の可変配列aを利用しました。可変配列については記事『高校数学をプログラミングで解く（準備編）「2-4 配列」』をご覧ください。
プログラムの解説「N進数の表示」
整数をN進数で表した場合の各桁$${a_0, a_1, \cdots, a_{n-1}}$$を求めたら、そのN進数の整数をコンソールに出力しています。可変配列aにはそれらの要素が$${a_0}$$、$${a_1}$$、$${\cdots}$$の順に追加されていますが、コンソールへの出力時にはこれらの要素を$${a_{n-1}}$$、$${a_{n-2}}$$、$${\cdots}$$の順で出力することでN進数の$${{a_{n-1} \cdots a_1 a_0}_{(N)}}$$が表示できます。そこで、forループを降順に利用することで可変配列の出力順を調整しています。
for(int i=a.size()-1; i>=0; i--){
print(a.get(i));
}なお、「a.size()」は可変配列aの要素数を表し、「a.get(i)」は可変配列aのi番目の要素を取り出すときに利用します。
練習問題
次の$${10}$$進数を[]内の表し方で表せ。
$$
\mathrm{(1)} 18 [2\mathrm{進法}],
\mathrm{(2)} 248 [3\mathrm{進法}],
\mathrm{(3)} 321 [7\mathrm{進法}]
$$
まとめ
今回は、数学Aで学ぶ「N進法」について、$${10}$$進法で表された数を$${N}$$進法で表すためのプログラムを作成してみました。
$${10}$$進法で表された整数を$${N}$$進法に変換するプログラムは、$${10}$$進法で表された数を$${N}$$で割っていき、その余りが$${N}$$進数の各桁の値と関連していくことを利用して、比較的簡単にプログラミングすることができました。
$${10}$$進法で表された小数を$${N}$$進法に変換することもできますが、プログラミングは少し複雑になります。というのも、小数は浮動小数点数で扱いますが、浮動小数点数では有効桁数や丸め誤差などの問題があり、これらが変換する際のネックになってきます。これらの問題をうまく回避することができれば、$${10}$$進法で表された小数を$${N}$$進法に変換することも可能です。一度チャレンジしてみてはいかがでしょうか。
参考文献
改訂版 教科書傍用 スタンダード 数学A（数研出版、ISBN9784410209277）
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