mathmagician　雨宮将人

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補充問題の解答について（第5回授業後記）

授業の最後に議論した補充問題は次のようなものでした． 補充問題．立方体Ｃの体積の増減量が$${a\%}$$以下（$${a>0,\,a\approx 0}$$）であるとき，Ｃの1辺の長さの増減量はどれだけか．微分の考えを用いてそのおよその値を求めよ． この問題の解答は授業で示した通りですが（なのでここでの解答の詳細は省略します）次のように考える人もいるかもしれません． （答案例）$${x\,(>0)}$$をＣの1辺の長さとし，$${f(x)}$$をＣの体積とすると， 　　

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    • 精密化された関数の極限の定義について（第4回授業後記）

      　第4回授業で学修した$${\lim_{x\to a}f(x)=\alpha}$$の定義は次の通りでした．（文字定数や関数その他の設定，および定理の番号などはテキストを参照してください．他も同様です．） 　定義 4.3.1. （p. 31） 　(1) $${\lim_{x\to a}f(x)=\alpha}$$ 　$${\stackrel{\Delta}{\Leftrightarrow}}$$ 任意の$${\varepsilon>0}$$に対し，ある$${\delta>0}

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      • 有界単調数列の収束定理を用いた例題の解答について（第3回授業後記）

        　テキストのp. 19に次のような問題（例題2）があります． 　問題（例題2） 　$${a_1=2a,\,a_{n+1}=\sqrt{a_n+1}\,\left(n\in\mathbb{R}\right)}$$により定義される数列$${\left\{a_n\right\}}$$の収束・発散を調べ，収束する場合はその極限値$${r}$$を求めよ． 　テキストの解答にある通りこの数列$${\left\{a_n\right\}}$$は上に有界で増加な数列になります．このうち上に

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        • 置換積分によると定積分が0となる正値連続関数が存在します

          　定積分$${I=\int_0^{2\pi}\frac{dx}{3+\cos x}}$$の値を求めてみました． （答案） 　　　　　　　　　　　　$${t=\tan\frac{x}{2}}$$ とおくと 　　　　　　　　$${dx=\frac{2dt}{1+t^2},~\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}}$$ であり 　　　　　　　　$${\theta:0\nearrow 2\pi}$$　のとき　$${t:0\rightarrow 0}$$ である．よって

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          部分積分によると0＝1でした

          　不定積分$${I=\int \frac{dx}{x\log x}}$$を 部分積分により求めてみました． （答案） 　　　　　　　　$${I= \int \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{\log x}dx}$$ 　　　　　　　　$${=\int \left (\log x\right )'\cdot \frac{1}{\log x}dx}$$ 　　　　　　　　$${=\log x\cdot \frac{1}{\log x}-\int \log x\cd

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          精密化された数列の極限の定義について（第2回授業後記）

          　先日の授業後，数列の極限について質問があったので回答もかねて記事にまとめることにします． 　授業で学修した数列の極限の定義は次の通り． 　定義．$${\{a_n\}}$$は実数列とし$${\alpha}$$は実数の定数とする．このとき$${\{a_n\}}$$が$${\alpha}$$に収束する，または極限値$${\alpha}$$をもつとは次を満たすときをいう． 　$${(\ast)}$$任意の$${\varepsilon>0}$$に対し，ある$${n_0\in \m

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          解析学Iテキスト

          解析学Iで使用するテキストです． ４月中の講義で使用する分については無料エリアにファイルを添付します．下記添付ファイルをダウンロードして下さい． 5月以降の講義分については有料エリアに添付します．

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