2023 京都大理系数学　第6問解説

　この記事は、大学受験生の立場に立って，発想や考え方の流れを辿ることを重視したものとなっています。

記事内の記号の意味は以下のようになっています：

▶︎...問題を解く上で「壁」となるアイデア
☆...覚えておくべき重要点
◉....本格的に取り掛かる前の予想など

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2023 京都大理系数学　第6問

(1)$${cos3θ}$$、$${cos4θ}$$を$${cosθ}$$を使って表せ。

(2)$${cosθ=\dfrac{1}{p}}$$とする。このとき、$${θ=\dfrac{m}{n}π}$$となる自然数$${m,n}$$は存在するか。ただし、$${p}$$は$${3}$$以上の素数である。

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(1)略

(2)
◉怪しいこと

• $${p}$$が$${3}$$以上の素数である

• (1)で$${\cos3θ}$$、$${\cos4θ}$$を出している

◉感覚的には存在しないだろう
　$${p=3}$$で考えてみても条件のようになることが想像しにくい



　(1)で3倍、4倍角の余弦を考えさせていることもふまえると、この大問で作者が狙ってるであろう流れは

▶︎☆n倍角の余弦→チェビシェフ多項式

のはずだろう

　チェビシェフ多項式といえば

☆隣接3項間での漸化式
$${T_{n+2}(x)=2xT_{n+1}(x)-T_n(x)}$$
但し、$${T_n(x)=\cos(nθ),x=\cosθ}$$

　一般項も出せるには出せるが、実用的ではないので一般項から導くという流れは考えにくい

→

　漸化式を使って(数学的)帰納法を使って示していくべき

何を示していくべきか

◉$${\cosθ=\frac{1}{p}}$$のもと、
$${θ=\frac{mπ}{n}}$$なる自然数$${m,n}$$が存在することは、
$${|\cos{nθ}|=1}$$なる自然数$${n}$$が存在することと同値だから、具体的なn倍角の余弦を考えてみると、

$${\cos{θ}=\dfrac{1}{p}}$$

$${\cos{2θ}=\dfrac{2}{p^2}-1=\dfrac{2-p^2}{p^2}}$$

$${\cos3θ=\dfrac{4}{p^3}-\dfrac{3}{p}=\dfrac{4-3p^2}{p^3}}$$

$${\cos4θ=\dfrac{8}{p^4}-\dfrac{8}{p^2}+1=\dfrac{8-8p^2+p^4}{p^4}}$$

・・・

▶︎絶対値が1になることを意識すると、通分した状態から以下のことが予想できる：

• 分母は$${\cos{kθ}}$$に対して$${p^k}$$になっている…$${(ⅰ)}$$
  

• 分子において、$${p}$$の0次の項は$${\cos{kθ}}$$に対して$${2^{k-1}}$$になっている…$${(ⅱ)}$$

→

問題文から$${p}$$が奇素数であることをふまえると、以下の流れで示せることがわかる：

　①$${\cos{kθ}}$$を$${p}$$を用いて分数で表したとき、全ての自然数$${k}$$で$${(ⅰ),(ⅱ)}$$が成立することを示す
▶︎②このとき、分母と分子が互いに素で、既約分数であることを示す
　③$${\cos{kθ}}$$の絶対値が1にならないことを示す

　これは漸化式から帰納法で示そうなのでこの方針でいくべきだろう
...(略)