2020年東京大学理系第３問
こんにちは。しろ＠です。
自分が受験した年の受験校の問題を全部取り上げるシリーズ第１弾（東大）、今回は2020年東京大学理系第３問です！
問題
問題は次のとおりです。
$${-1\leqq t\leqq1}$$を満たす実数$${t}$$に対して、
$$
\begin{array}{}
x(t)&=&(1+t)\sqrt{1+t}\\
y(t)&=&3(1+t)\sqrt{1-t}
\end{array}
$$
とする。座標平面上の点$${\mathrm{P}(x(t), y(t))}$$を考える。
(1) $${-1< t \leqq 1}$$における$${t}$$の関数$${\displaystyle\frac{y(t)}{x(t)}}$$は単調に減少することを示せ。
(2) 原点と$${\mathrm{P}}$$の距離を$${f(t)}$$とする。$${-1\leqq t\leqq1}$$における$${t}$$の関数$${f(t)}$$の増減を調べ、最大値を求めよ。
(3) $${t}$$が$${-1\leqq t\leqq1}$$を動くときの$${\mathrm{P}}$$の軌跡を$${C}$$とし、$${C}$$と$${x}$$軸に囲まれた領域を$${D}$$とする。原点を中心として$${D}$$を時計回りに$${90^{\circ}}$$回転させるとき、$${D}$$が通過する領域の面積を求めよ。
座標がパラメータ表示されている点$${(x, y)=(x(t), y(t))}$$の振る舞いを微分したり積分したりして調べる問題です。パラメータ表示されている関数（パラメータが簡単に消せない）のグラフの挙動を調べたり面積を求めたりする問題って教科書にはないイメージ…勘違いかも。
(1)は$${\displaystyle\frac{y(t)}{x(t)}}$$の単調減少性を示し、(2)は$${f(t)}$$の増減と最大値を求める問題です。どちらも$${t}$$で微分すればよさそうですが…
(3)は「時計回りに$${90^{\circ}}$$回転させる」という一見ややこしそうな操作が含まれています。(1)(2)が上手い誘導になっているのかもしれない。
解答
解説
まず、(1)についてです。とりあえず$${\displaystyle\frac{y(t)}{x(t)}}$$を計算してみると、
$$
\displaystyle\frac{y(t)}{x(t)}=3\sqrt{\displaystyle\frac{1-t}{1+t}}=3\sqrt{\displaystyle\frac{2}{1+t}-1}
$$
となります。この時点で単調減少なのが分かりますね。２個目の形でも単調減少は分かりますが、動く文字$${t}$$が２箇所にあるので、割り算を実行して１箇所にまとめておくと、より分かりやすいです。（自分が受験したときは２個目の形で終わらせてしまった気がする。）
ちなみに、$${-1 < t \leqq 1}$$における単調減少性を示したいが、微分すると導関数が端っこの$${t=1}$$で定義できない形になるから厄介…という解説を見かけたのですが、別に問題ないですよね？（参考：https://kgkrkgk.com/math/tum20f3.htm）
次に、(2)について。とりあえず$${f(t)}$$を計算してみましょう。
$$
f(t)=\sqrt{\{x(t)\}^2+\{y(t)\}^2}=(t+1)\sqrt{10-8t}
$$
今回はさすがに微分しないといけなさそうです。解答では普通に微分しましたが、両辺を２乗して陰関数の微分をしてもよいでしょう。まぁあとは…普通に教科書の問題という感じです。
さて、本題の(3)です。とりあえず$${C}$$を求めましょう！定石は$${x(t)}$$と$${y(t)}$$をそれぞれ$${t}$$で微分して、どこで右（左）に行くか、どこで上（下）に行くかを調べます。今回は$${x(t)}$$はそのままの表式で単調増加が分かるので、微分するのは$${y(t)}$$だけで十分です。
ですが、実は微分する必要はありません！というのも(1)(2)の情報だけで$${C}$$を書くことができるからです。(1)は、$${t}$$の増加に伴い$${\mathrm{OP}}$$の傾きが$${+\infty}$$から$${0}$$まで単調に減少することを示しています。(2)は、$${t=\displaystyle\frac{1}{2}}$$で原点からの距離が最大になることを示しています。さらに$${x(t)}$$が単調増加であることを図に反映させれば$${C}$$の概形が描けるわけです。（これを反映させないと、$${\mathrm{P}}$$が右に移動した後に左に戻る場合も考えられてしまうため、その場合$${D}$$の通過領域の面積を求めるのが面倒になります！）
ネット上の解答を見てみると、ほとんど増減表を書いていましたが、$${x(t)}$$と$${y(t)}$$の増減表を書いていないものもありました（参考：https://math.nakaken88.com/problem/tokyo-u-r-2020-3/）。(1)(2)の設問もそういう意図で東大が配置したのではないでしょうか。でも一応増減表を書いて$${C}$$を描くのが安心なのかな。（$${C}$$や$${D}$$の通過範囲の面積を求めるのに必要な条件を書き忘れる恐れがある。）
このことを踏まえて、$${D}$$の通過領域を描いてみましょう。そうすると、$${t\neq\displaystyle\frac{1}{2}}$$の線分$${\mathrm{OP}}$$が通過する領域はほとんど$${t=\displaystyle\frac{1}{2}}$$における線分$${\mathrm{OP}}$$に上書きされてしまい、残るのは回転前の$${D}$$の$${t\leqq\displaystyle\frac{1}{2}}$$の部分と回転後の$${D}$$の$${t\geqq\displaystyle\frac{1}{2}}$$の部分だけです。
上書きされた部分は四分円になっています！これは、(2)の$${t}$$の増加に伴い、線分OPの長さは$${t=\displaystyle\frac{1}{2}}$$で最大になることが効いています。そしてその他の部分を合体させると、ちょうど$${D}$$と同じ面積になっています！（冷静な状態で考えれば「そりゃそう」なのですが、受験当時は結構感動しました！）
結局、(2)で得られた最大値を半径とする四分円の面積と$${D}$$の面積を足せばよいわけです。後者を計算するときに、積分変数を$${t}$$に変更したあとの被積分関数に、$${\sqrt{1-t^2}}$$と$${t\sqrt{1-t^2}}$$が出てきます。前者は円の面積に帰着するのが楽でしょう。$${t=\sin\theta}$$と置換してもよいですが。後者は$${t^2=u}$$とでも置換すれば積分できますが、今回は上端と下端が$${-1}$$倍の関係なので、奇関数であることから積分したら$${0}$$になります。
最後にコメント
個人的な難易度は「やや易〜標準」です！ちょっと過激かな。標準でもいいかも。$${D}$$の通過領域を考えるのが肝だと思いますが、それ以外は典型的な問題で第１問や第２問に比べれば解答が書きやすかったと感じます。
(1)(2)は数IIIの微分法の簡単な練習問題になりますし、(3)も思考力を鍛えられる良問だと思います。数IIIを終えた理系生にとっても良い訓練になるのではないでしょうか？
自分が受験したときは完答できたと思った問題です。この第３問が2020年のセットで一番好きかも。第１問、第２問も完答できたと思っていたので（勘違いで第２問は解き残しあり）、キタキター！と思っていましたが、その後の第４問で絶望に突き落とされるのでした。
というわけで次回はそんな第４問を取り上げます！
最後までお読みいただきありがとうございました。もしよろしければ、次回以降の記事もお読みいただけると嬉しいです。
それでは、また次の記事で。
2024.02.19
しろ＠
この記事が気に入ったらサポートをしてみませんか？