2020年早稲田大学理工学部第１問
こんにちは。しろ＠です。
今回から2020年早稲田大学理工学部の問題を取り上げます！今年2024年の入試では出題ミスがあり話題になりましたが、2020年でも第５問で出題ミスがありました！受験時には気づきませんでしたが()
本記事では第１問を取り上げます。
見出しの文字が少し小さかったので、今回から大きくします。（かなり前から気づいていたが、キリが悪かったので今回から。）
問題
問題は以下の通りです。
複素数$${\alpha, \beta, \gamma}$$が$${|\alpha|=|\beta|=|\gamma|=1}$$かつ$${\alpha+\beta+\gamma=0}$$を満たすとき、以下の問に答えよ。
(1) $${\alpha, \beta, \gamma}$$を表す複素平面上の点が正三角形をなすことを示せ。
(2) $${\displaystyle\frac{\alpha\beta}{\gamma^2}+\displaystyle\frac{\beta\gamma}{\alpha^2}+\displaystyle\frac{\gamma\alpha}{\beta^2}}$$の値を求めよ。
(3) $${n}$$を$${3}$$で割り切れない自然数とするとき$${\alpha^n+\beta^n+\gamma^n}$$の値を求めよ。
$${\alpha, \beta, \gamma}$$は原点中心の単位円周上にあり、重心が原点と一致する三角形をなす、ということですね。
(1)は正三角形であることを示す問題ですが、正三角形であることをどう示すかがカギになります。簡単に思いつくのは、①３辺の長さが等しい、②３つの角の大きさが等しい、でしょうか。どちらかが言えるならそれでいいですが、難しそうなら他の方法を考える必要があります。
(2)(3)は流れ的に$${\alpha, \beta, \gamma}$$が正三角形をなすことを使えばできそうです。(3)の「$${n}$$が$${3}$$で割り切れない」という条件がどう効いてくるんでしょうかね。
解答
解説
まず、(1)です。与えられた条件がどのように使えるか考えてみます。１つ目の条件はせいぜい次のように変形するしかないでしょう。
$$
\begin{array}{}
&|\alpha|=|\beta|=|\gamma|=1\\
\Leftrightarrow&|\alpha|^2=|\beta|^2=|\gamma|^2=1\\
\Leftrightarrow&\alpha\bar{\alpha}=\beta\bar{\beta}=\gamma\bar{\gamma}=1
\end{array}
$$
各複素数の共役は元の複素数の逆数になります。どこかで使えるかも。２つ目の条件は、各複素数のうち１つだけ左辺に残して２乗するくらいしか思いつきませんね〜。ということで計算していくと、$${\displaystyle\frac{\beta}{\gamma}=\omega, \omega^2}$$が得られます。これは各点を原点中心に$${120^\circ}$$または$${240^\circ}$$回転させると残りの点に一致することを意味しており、各点が正三角形をなすことが言えました！
ここの計算は次のようにやってもよいです。最初はこれを思いつきましたが、解答の方がキレイだと思ったのでそちらを採用しました。
$$
\begin{array}{}
&\alpha+\beta+\gamma=0\\
\Leftrightarrow&\alpha=-(\beta+\gamma)\\
\Rightarrow&|\alpha|^2=|\beta+\gamma|^2\\
\Leftrightarrow&1=(\beta+\gamma)\overline{(\beta+\gamma)}\\
\Leftrightarrow&1=\beta\bar{\beta}+\beta\bar{\gamma}+\bar{\beta}\gamma+\gamma\bar{\gamma}\\
\Leftrightarrow&\beta\bar{\gamma}+\bar{\beta}\gamma=-1\\
\Leftrightarrow&\displaystyle\frac{\beta}{\gamma}+\overline{\left(\displaystyle\frac{\beta}{\gamma}\right)}=-\displaystyle\frac{1}{\gamma\bar{\gamma}}(=-1)\\
\Leftrightarrow&\mathrm{Re}\left(\displaystyle\frac{\beta}{\gamma}\right)=-\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array}
$$
これは、$${|\beta|=|\gamma|}$$であることを踏まえると、$${\gamma}$$を原点中心に$${120^{\circ}}$$または$${240^{\circ}}$$回転させると$${\beta}$$に一致することを示しています。これで$${\alpha, \beta, \gamma}$$が正三角形をなすことが示せました！
正三角形であることを示すためには、先に挙げた①３辺の長さが等しい、②３つの角の大きさが等しい、が挙げられますが、③外接円の中心からの角の大きさが$${120^{\circ}}$$もアリです！
ちなみに、①と②を（簡単に）示すこともできるでしょうか？まず、①を示すためには、次のことが言えればよいです。
$$
|\alpha-\beta|=|\beta-\gamma|=|\gamma-\alpha|
$$
左辺と中辺を考えてみましょう。
$$
\begin{array}{}
&|\alpha-\beta|=|\beta-\gamma|\\
\Leftrightarrow&|\alpha-(-\alpha-\gamma)|=|(-\alpha-\gamma)-\gamma|\\
\Leftrightarrow&|2\alpha+\gamma|^2=|\alpha+2\gamma|^2\\
\Leftrightarrow&(2\alpha+\gamma)\overline{(2\alpha+\gamma)}=(\alpha+2\gamma)\overline{(\alpha+2\gamma)}\\
\Leftrightarrow&4\alpha\bar{\alpha}+2\alpha\bar{\gamma}+2\bar{\alpha}\gamma+\gamma\bar{\gamma}=\alpha\bar{\alpha}+2\alpha\bar{\gamma}+2\bar{\alpha}\gamma+4\gamma\bar{\gamma}\\
\Leftrightarrow&4+2(\alpha\bar{\gamma}+\bar{\alpha}\gamma)+1=1+2(\alpha\bar{\gamma}+\bar{\alpha}\gamma)+4\\
\Leftrightarrow&\alpha\bar{\gamma}+\bar{\alpha}\gamma=\alpha\bar{\gamma}+\bar{\alpha}\gamma
\end{array}
$$
あーっと同じ式になってしまったー！ではなくて、これでよいです。最後の式を逆に戻ることで最初の式を示せます。あとは残りの辺を取り出した２パターンも同様です！うーん、こっちの方がいい気もしてきた。でも結論から逆戻りしてるので解答は不自然ですよねー。
さて、②を示すことを考えてみましょう。次のことが言えればよいですね。
$$
\displaystyle\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=\displaystyle\frac{\alpha-\beta}{\gamma-\beta}=\displaystyle\frac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}
$$
うーん。左辺と中辺を取り出したとして、分母を払うか、絶対値をとって２乗するか…いずれにしてもちょっと計算が大変そうです。上手い方法があれば教えてください。
あとは$${\alpha, \beta, \gamma}$$が原点中心の単位円周上にあることから、$${0\leqq\theta<2\pi, 0\leqq\varphi<2\pi}$$として次のようにおく発想も自然です。
$$
\begin{array}{}
\beta=\alpha(\cos\theta+i\sin\theta)\\
\gamma=\alpha(\cos\varphi+i\sin\varphi)
\end{array}
$$
３文字使うのは大変なので、２文字で表しています。$${\alpha+\beta+\gamma=0}$$にこれらを代入すると、次が成り立ちます。
$$
\begin{array}{}
&1+\cos\theta+\cos\varphi+i(\sin\theta+\sin\varphi)=0\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}
1+\cos\theta+\cos\varphi=0\\
\sin\theta+\sin\varphi=0
\end{cases}\\
\Leftrightarrow&\begin{cases}
\cos\displaystyle\frac{\theta+\varphi}{2}\cos\displaystyle\frac{\theta-\varphi}{2}=-\displaystyle\frac{1}{2}\\
\sin\displaystyle\frac{\theta+\varphi}{2}\cos\displaystyle\frac{\theta-\varphi}{2}=0
\end{cases}
\end{array}
$$
$${\cos\displaystyle\frac{\theta-\varphi}{2}=0}$$は下の式を満たしますが、上の式を満たさないので不適です。よって、$${\sin\displaystyle\frac{\theta+\varphi}{2}=0}$$となるものだけを考えればよいです。つまり、$${\theta+\varphi=0, 2\pi}$$の場合を考えればよいですが、前者は$${\theta=\varphi=0}$$となってしまい不適です。したがって、$${\theta+\varphi=2\pi}$$の場合を考えます！これを上の式に代入します。
$$
\begin{array}{}
&\cos\displaystyle\frac{2\pi}{2}\cos\displaystyle\frac{\theta-(2\pi-\theta)}{2}=-\displaystyle\frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow&\cos\theta=-\displaystyle\frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow&\theta=\displaystyle\frac{2}{3}\pi, \displaystyle\frac{4}{3}\pi
\end{array}
$$
これより、$${(\theta, \varphi)=\left(\displaystyle\frac{2}{3}\pi, \displaystyle\frac{4}{3}\pi\right), \left(\displaystyle\frac{4}{3}\pi, \displaystyle\frac{2}{3}\pi\right)}$$となり、これは原点からの角度がそれぞれ$${120^{\circ}}$$であることを意味しているので、証明完了です。発想は自然ですが、記述量が多くなってしまいますね。
(1)はこれくらいにして、(2)に行きましょう。(1)の結果から、「$${\alpha, \beta, \gamma}$$を表す複素平面上の点が正三角形をなす」ことが分かったので、$${(\beta, \gamma)=(\alpha\omega, \alpha\omega^2), (\alpha\omega^2, \alpha\omega)}$$のいずれかで表せます。$${\omega, \omega^2}$$は$${1}$$の三乗根です。
例えば、$${(\beta, \gamma)=(\alpha\omega, \alpha\omega^2)}$$の場合を考えます。これを$${\displaystyle\frac{\alpha\beta}{\gamma^2}+\displaystyle\frac{\beta\gamma}{\alpha^2}+\displaystyle\frac{\gamma\alpha}{\beta^2}}$$に代入すると…
$$
\displaystyle\frac{\alpha\beta}{\gamma^2}+\displaystyle\frac{\beta\gamma}{\alpha^2}+\displaystyle\frac{\gamma\alpha}{\beta^2}=\displaystyle\frac{\alpha\alpha\omega}{(\alpha\omega^2)^2}+\displaystyle\frac{\alpha\omega\alpha\omega^2}{\alpha^2}+\displaystyle\frac{\alpha\omega^2\alpha}{(\alpha\omega)^2}=\displaystyle\frac{1}{\omega^3}+\omega^3+1=3
$$
となり、答えは$${3}$$になります。$${(\beta, \gamma)=(\alpha\omega^2, \alpha\omega)}$$の場合も同様です。$${120^{\circ}}$$回転で$${\omega}$$が思いつくようにしておくとよいでしょう。$${\omega^3=1}$$と$${\omega^2+\omega+1=0}$$は絶対使えるように。
(3)も$${(\beta, \gamma)=(\alpha\omega, \alpha\omega^2)}$$を代入してみましょう。
$$
\begin{array}{}
\alpha^n+\beta^n+\gamma^n&=&\alpha^n+(\alpha\omega)^n+(\alpha\omega^2)^n\\
&=&\alpha^n(1+\omega^n+\omega^{2n})\\
&=&\begin{cases}
\alpha(1+\omega^{3k+1}+\omega^{6k+2})\\
\alpha(1+\omega^{3k+2}+\omega^{6k+4})
\end{cases}\\
&=&\begin{cases}
\alpha(1+\omega+\omega^2)\\
\alpha(1+\omega^2+\omega)
\end{cases}\\
&=&0
\end{array}
$$
ただし、$${k=0, 1, 2,\dots}$$です。これも簡単に示せましたね。$${n\equiv0\pmod3}$$の場合は、
$$
1+\omega^n+\omega^{2n}=1+\omega^{3k}+\omega^{6k}=3
$$
となってしまうので、$${0}$$にはなりません。こうして見てみると、(1)を示すことと$${\omega}$$を使うことが重要な大問でしたね。
最後にコメント
早稲田理工の問題の難易度はあんまり分からないのですが…個人的な難易度は「やや易」です！(1)が示すことができれば(2)(3)はそこまで難しくないと思います。というのも、(1)は証明なので記述ですが、(2)(3)は解答のみでよいので、とりあえず(1)の結論を認めて(2)(3)の計算ができるからです。こういうのは私大特有の解き方ですね。
受験したときは(1)を特殊な解き方をしたような…「$${\alpha}$$から下ろした垂線が$${\beta, \gamma}$$の中点を通る」みたいなことを示した気がするのですが、解答が再現できない…ちなみに(3)も解けた形跡がない。何やってたんだ。
複素数の図形問題はベクトル的な思考ができるようになるとグッと解けるようになりますね。あと拡大縮小と回転の考え方も重要です。
今回はここまで。
最後までお読みいただきありがとうございました。もしよろしければ、次回以降の記事もお読みいただけると嬉しいです。
それでは、また次の記事で。
2024.03.12
しろ＠
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