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【数学】対称式1

対象:定期試験以上

今回は 対称式 について確認しましょう
様々な分野で出てきますので 必須事項です

たとえば $${x^2+y^2}$$,$${\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}}$$ などは対称式です
そして

和$${x+y}$$ と 積$${xy}$$ が最も簡素な対称式です
そして次の重要な事実があります

実際にいくつかやってみると

となりきちんと基本対称式(または,そこから得られる式)で表せました
ということで

が解答の方針となります
1問見てみましょう




いずれも基本対称式の値(すなわち$${a \ と \ b}$$)で表せました
たとえば,次のように三角比(三角関数)の問題もあります





$${\sin x \ と\ \cos x}$$の間にはつねに $${\sin^2 x +\cos^2 x=1}$$
の関係が成り立っていますから,与えられた条件は1つのようで
使える式は2つです
この2式から 求められていない基本対称式 $${\sin x \cos x}$$ の値をまず求めましょう
そうすれば 和と積 がわかったので,対称式の値を求めることができます

また,(1)で因数分解を用いましたが($${\sin^2 x +\cos^2 x=1}$$だから)
$${\sin^3 x +\cos^3 x=(\sin x+\cos x)^3-3\sin x\cos x(\sin x+\cos x)}$$
を利用してももちろんOKです

次回に続きます

また関連事項として解と係数の関係があります


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