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【数学】対称式1
対象:定期試験以上
今回は 対称式 について確認しましょう
様々な分野で出てきますので 必須事項です
![](https://assets.st-note.com/img/1689846486229-XKoJKhXWPC.png?width=1200)
たとえば $${x^2+y^2}$$,$${\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}}$$ などは対称式です
そして
![](https://assets.st-note.com/img/1689846501370-5uqxRW7f8S.png?width=1200)
和$${x+y}$$ と 積$${xy}$$ が最も簡素な対称式です
そして次の重要な事実があります
![](https://assets.st-note.com/img/1689846515185-czfFgRa2b4.png?width=1200)
実際にいくつかやってみると
![](https://assets.st-note.com/img/1689846527164-4VHjPdMjj4.png?width=1200)
となりきちんと基本対称式(または,そこから得られる式)で表せました
ということで
![](https://assets.st-note.com/img/1689846546787-BxorzOqhBS.png?width=1200)
が解答の方針となります
1問見てみましょう
![](https://assets.st-note.com/img/1689846622811-FlDVDKQ06T.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1689846636887-UVY41ro6Ri.png?width=1200)
いずれも基本対称式の値(すなわち$${a \ と \ b}$$)で表せました
たとえば,次のように三角比(三角関数)の問題もあります
![](https://assets.st-note.com/img/1689846671247-ZhEZwKYv0J.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1689846849130-1uvlo7Mm1X.png?width=1200)
$${\sin x \ と\ \cos x}$$の間にはつねに $${\sin^2 x +\cos^2 x=1}$$
の関係が成り立っていますから,与えられた条件は1つのようで
使える式は2つです
この2式から 求められていない基本対称式 $${\sin x \cos x}$$ の値をまず求めましょう
そうすれば 和と積 がわかったので,対称式の値を求めることができます
また,(1)で因数分解を用いましたが($${\sin^2 x +\cos^2 x=1}$$だから)
$${\sin^3 x +\cos^3 x=(\sin x+\cos x)^3-3\sin x\cos x(\sin x+\cos x)}$$
を利用してももちろんOKです
次回に続きます
また関連事項として解と係数の関係があります
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