【数学】相加平均と相乗平均の関係

対象：定期試験以上

今回は　相加平均と相乗平均の関係　を扱います

ほとんどの場合，変形した次の形で用います

相加平均と相乗平均の関係は　2数が正の数であれば　どんなときにも成り立つ不等式です

最大最小を考える際に用いられます

よくあるのは

$${x>0 \ のとき，x+\dfrac{1}{x} \geqq 2\sqrt{x\cdot \dfrac{1}{x}}=2}$$
$${x>0，y>0 \ のとき，\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\geqq 2\sqrt{\dfrac{x}{y}\cdot \dfrac{y}{x}}=2}$$
$${任意の\ x \ に対し，2^x+\dfrac{1}{2^x}\geqq 2\sqrt{2^x\cdot \dfrac{1}{2^x}}=2}$$

のように，2数が逆数の関係にあるときです
参考までに　$${y=x+\dfrac{1}{x}}$$　のグラフを紹介しておきます
(理系は数学IIIでやる)

では　問題を2問ほど演習しましょう

不等式の基本的な扱いについては次を参照

さて　2問目です

逆数の関係をつくるために　式変形をします
こういう変形は高校数学らしいところで
目的のために　あえて一旦複雑な形に変形する　ってところですね

相加平均と相乗平均の関係は　いろんなところで急に出てきますから
まずは　いつでも使えるよう理解しておくことです

今回は　2数の相加平均と相乗平均の関係でしたが
一般に 　$${n}$$数の相加平均と相乗平均の関係　　が成り立ちます
それは　次回紹介しましょう