【数学】一次不定方程式①

対象：定期試験，共通テスト　数学利用者

Q：A君は5本入りの赤鉛筆セット，B君は12本入りの青鉛筆のセットをそれぞれたくさんもっています．A君とB君の本数が変わらないようにセットのまま交換するとき，何本ずつ交換すればよいですか．

A　60本ずつ　(5と12の最小公倍数)

さて，小学生の問題のような，中学受験の鶴亀算のような問題から始めましたが，一次不定方程式の整数解のお話をしていきます

一次不定方程式とは，多変数を含む方程式で
$${y=2x+1}$$などというものも一次不定方程式です
もちろん，解は無数にあり，それらの点をすべてプロットしたものが
座標平面上の直線$${y=2x+1}$$となるわけです

そして　$${y=2x+1}$$　の整数解はと言えば
直線$${y=2x+1}$$上の点で，$${x\ 座標，y\ 座標}$$ともに整数のもの(格子点)となります

さて，実際に基本問題を解き方を確認しましょう

まず，なんでもよいので1つの解(特殊解)を見つけましょう
特殊解は，パッと思いつけばよいですが
思いつかないときはユークリッドの互除法を利用して見つけましょう

まず$${14x +39y=1}$$となる組をみつけ(組の存在はベズーの等式により保証されている)，その後5倍します
特殊解を見つけた後は　ほとんどの場合上記の解答ですが
次のような解答でも良いでしょう
格子点を探しているんでしたよね

傾き$${-\dfrac{14}{39}}$$が既約分数なので
すなわち14と39が互いに素なので　図の点の間には格子点はありません
もしあれば$${-\dfrac{14}{39}}$$が約分できることになってしまいます


さらには，次のような解答でもよいと思われますが
一般的ではないので，共通テスト等の答えのみのとき利用しましょう

答えだけなら，特殊解を求めた後で即答して良いでしょう
和が$${5}$$を保ったまま，一方を減らして他方を増やします
$${14}$$と$${39}$$の最小公倍数$${14×39}$$ずつ交換すればよいですね
最初の小学生の問題と同じ考えです
(差が一定の場合には，双方を同じ数だけ増やす)

今回は教科書の基礎的な内容でしたが，よく出題されますのでしっかり身につけましょう．

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